Zmn-1134 一阳生 : 我对薛老师《Zmn-1128》文章的评论。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1128》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

我对薛老师《Zmn-1128》文章的评论。

一阳生

一、薛老师总算承认了潜无穷过程的存在。

薛老师说：“我认为实无穷观和潜无穷观是人们对客观上的无穷过程的认识、看法和【观点】的不同，而不是客观上的无穷过程【本身】就有两种不同的类型。在客观上并不存在有什么不同的【实无穷过程】和【潜无穷过程】。”

薛老师说人们对【客观上的无穷过程本身】的认识看法观点不同，分别产生了潜无穷过程和实无穷。但潜无穷过程和实无穷都不是【客观上的无穷过程本身】。

薛老师成功的引起了我们的好奇心，让人期待薛老师所说的【客观上的无穷过程本身】到底是什么？请薛老师告诉我们！

薛老师说：“所有存在的集合都是以它的生成过程完成为前提的。”

这种说法相当不专业。集合的存在以给出其确定的内涵为前提。内涵一经给定，集合即存在。何来生成过程！我们不是在考查产品的制造过程，也不是在讨论新生命的诞生。

薛老师说：“【以自然数计数，不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】的所谓【潜无穷过程】。这样的不能完成的生成过程，生成不了集合论中存在的无穷集合。”

薛老师有如此明确的表态和正确的观点，说潜无穷过程生成不了实无穷的集合。值得点赞！

关于有始无终、不能结束等这些潜无穷特征，这些短语都是强调行为动作，当然不能用来描述已经存在的静态的固定不变的实无穷集合及其元素。说全体自然数存在最小自然数不存在最大自然数，才是合适的。

二、行为动作分为两种，一种是可共同的同时的发生的，一种是有先后逻辑顺序的。

薛老师说：“动态的后继运算结果和静态的后继函数关系是完全一致的，并没有什么区别。n+1是n的后继数同n+1是由n经后继运算得到的数，是一回事，完全等价，没有区别。”

运算是动态的行为动作，函数是静态的关系。他们之间是不同的，但在一些情况下他们也是等价(是等价不是相同)的。

1、先看等价性。如根据选择公理，可对全体自然数中的每个都、共同的、同时的执行后继运算，这是一次性操作，即可得到全体后继数。这些后继运算是都、共同的、同时的发生的，彼此之间没有逻辑上的先后。与此同时，全体自然数集合与全体后继数集合之间存在一个后继数函数关系。在如此情况下，薛老师说后继数函数同后继运算是一回事，完全等价，没有区别。】是没有问题的。

2、再看不同之处。对运算、推理及其他一些操作等这些有逻辑顺序的行为动作，用自然数计数操作次数，结果只能是极其有限的自然数次或潜无穷次。

讨论至此，薛老师应承认[潜无穷过程]及其导致的其中一个动态结果[潜无穷]的存在。至少让我们首先假设薛老师承认了他们的存在，看看会怎样。我们在假设的条件下，把全体有穷自然数和潜无穷按照大小进行排列。

零、壹、贰、…、百、…、万、…、亿、…、潜无穷、…、无法被具体定义和无法被具体认知的更大的有穷、…。

如果自然数n取值百万亿等这些极其有限的自然数，n+1是n的后继数同n+1是由n经后继运算(无先后逻辑顺序)得到的数，是一回事，完全等价，没有区别。同时n和n+1也是可以由0开始经不断的后继运算(有先后逻辑顺序)得到的。

但如果自然数n取值无法被具体定义和无法被具体认知的自然数，这些数已超越潜无穷，这些数有无穷个。由0开始经不断的后继运算(有先后逻辑顺序)已经无法运算得到这些数，虽然这些数依然有后继数，虽然这些数可再次经1次后继运算(无先后逻辑顺序)得到更大的数。

薛老师应承认这些无法被具体定义和无法被具体认知的数的存在，毕竟自然数有无穷个，至少我们能具体写出、具体说出、具体想象出的自然数是极其少的。

三、在应用数学归纳法之前，就要对性质P是否具有普适性做事先了解。

薛老师说数学归纳法能够有效证明命题〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到〗。并且再次给出了证明过程。

可以看出薛老师把这个证明作为命题成立的依据，坚信不疑！以至于该命题带来的任何矛盾都被薛老师故意忽视和容忍。

1、来看薛老师表述中矛盾之处，表述A：“既然可证〖任一自然数可由0经有穷次的后继运算得到〗，…。从而全体自然数都可由0开始经后继运算而得出。…。但是我们知道自然数有无穷多个，因而生成过程是一个无穷过程，要有无穷次的演算。最后要生成无穷多个自然数，”表述B：“当然【【有穷次】的后继运算严格的对应【有穷个】运算结果。】。…。要知道，在自然数中没有由0经无穷次后继运算得到的数。…。但是这样的有穷数有无穷多个。即由0经有穷次后继运算得到的数有无穷多个，而不是有穷个。”

薛老师在表述A中说由于命题被证明成立，又由于自然数有无穷多个，所以命题中的后继运算必须可以进行无穷次。

在表述B中说当然有穷次的后继运算严格的对应有穷个结果，命题中的后继运算无法进行无穷次。但自然数却有无穷多个，所以由0开始的后继运算即使只能进行有穷次也必须得出无穷个自然数。

我在想薛老师为什么对于命题中的后继运算到底能进行多少次，和能得到多少自然数，会有如此矛盾的回答。原因无非就是(a)坚信命题可被数学归纳法证明，(b)自然数有无穷多个，(c)又不得不肯定我的质疑。从薛老师多次回避(包括本次仍然回避)质疑可看出，内心早已对命题能否成立持怀疑态度。只不过数学归纳法对命题的证明似乎无懈可击，薛老师选择更相信数学归纳法的证明，不得不强压自己的怀疑。

2、在《Zmn-1107》跟帖评论[3]中的【关于我的思想实验的准确表达】一文中，我说明了在应用数学归纳法之前就要对性质P(k)是否具有普适性，做事先的了解。否则贸然的应用归纳法就会得出任何性质都具有普适性的错误结论。

因为我的质疑是正确的，薛老师也不得不承认。所以从我的质疑出发和从我文的分析出发，可看出薛老师贸然的应用数学归纳法证明命题〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到〗的过程及结果，都是无效的错误的。

我在《Zmn-1107》跟帖评论[3]中的【关于我的思想实验的准确表达】的原文如下：

“一、关于我的思想实验的准确表达

若我们事先对性质P(k)有了一些了解，甚至已经事先知道其在客观上是否对全体自然数成立，我们仍可执行下面的操作：不去假设∀k∈N P(k)成立，而是根据事先对P的了解，不去证明而是直接观察∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）是否成立。虽然这可能只是对P进行明知故问的、多此一举的重复了解。但我确信这操作不违反逻辑，是可以做的事情。同样我确信对已经有所了解的P(k)，去应用数学归纳法看看会怎样，也是不违反逻辑和可以做的事情。

薛老师对这两个【不违反逻辑、可以做】是否认可？如果不认可请给出理由。比如让P(k)取值自然数k可由0经有穷次的后继运算得到，分别执行这个操作和应用归纳法，看看会怎样，就毫无问题！

【如果我认为P(k)不对所有自然数都成立，那么我在执行上面的操作时，必然会认为存在一个k，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立，进而使得∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。】

我上面用方括号括起来的是蕴含关系命题。如果命题的前提成立，结论是否成立？薛老师请给出回答！如果前提成立而结论不成立，请给出理由。

如果命题的前提成立结论也成立，自然地就说明了数学归纳法无法有效证明P(k)。因为P(k) 可能事实上不是对所有自然数都成立的，当对这样的P(k) 应用数学归纳法时，在假设P(k)对所有自然数都成立的条件下，我们有可能忽略掉了事实上存在的k，忽略掉了∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立，使本不该成立的∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）成立。进而使可能不对所有自然数都成立的P(k)，被错误的证明为对所有自然数都成立。

薛老师请注意方括号里的是蕴含关系命题，是在问您，前提为真时，结论是否为真？这是必答题哦！不会因为您认为前提事实上为假，这个问题就消失了。

对事先已经有所了解的性质P(k)，分别执行上面的操作和应用数学归纳法。过程是严格符合逻辑的，但可能会带来截然不同的结论。这就是我的思想实验。

我们可以对P(k)进行任意取值，来做思想实验。比如应用数学归纳法，假设P(k)取值薛老师可以吃下任意有穷碗饭，在假设下可以证明：如果吃了k碗饭，再吃一碗即k+1碗是可以的。于是得出薛老师可以吃下任意有穷碗饭的错误结论。但如果我们只是执行上面的操作，根据P(k)的实际情况，会观察到（P(3) ⇒ P(4)）不成立。

做思想实验的目的就是在强调我们要对性质P(k)了解更多，在应用数学归纳法时要事先确定性质P(k)是否具有普适性。如果没有事先的更多了解，贸然的应用归纳法就会得出任何性质都具有普适性的错误结论。

薛老师说：“当然绝对不存在一阳生先生所说的【其中有一个k，使P(k) 真，P(k’)假，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。】难道会有这样的情况，经有穷次后继再加1次后继，就不是有穷次后继了吗？”

在性质P与有穷或潜无穷相关条件下当然有这样的k。特别是在潜无穷条件下，我根据每个自然数都有相邻数的性质，证明了必然存在这样的k。这是存在性证明，不是构造性证明，无法举出具体数值，但必然不是我们平常所认知到那些极其有限的自然数常数，k必然是以潜无穷的方式增大。薛老师只要愿意考虑潜无穷条件下会发生什么，自然地会承认有这样的k，除非不愿意！所以薛老师不是反对这样的k存在，而是不承认潜无穷。”

四、小球经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个点的无穷过程完成本身，即意味着小球到达和经过了1点。

我在文章中特别加了一段文字：“请薛老师注意您上面的错误说法与正确说法【1点之前包含这全部无穷个点】是不同的。上面的错误说法中有小球的参与，问的是小球经过的点数，不是问1点之前的点数。”目的是为防止薛老师理解岀偏。想不到薛老师还是理解岀偏了。

我再来换一个角度帮助薛老师做出正确理解。我们假设口头数数全体自然数0、1、2、…，当然实际是数不完的，但我们假设可以数的完，即所谓无穷过程可以完成。

当我们数完每个有穷自然数之后，我们没有继续去数接下来的无穷序数ω。我们认为到此就已经完成了所谓无穷过程。殊不知，我们数完的全体自然数本身或其所形成的无穷序列无穷集合本身就等价于ω或就是ω。所以当我们数完了全体有穷自然数这个无穷过程，实际上就是我们数到了ω。ω不是全体自然数的一员，但却是无穷过程的最后一步。

这是关于对数的定义和性质的理解，以薛老师之聪明，应该不难理解。

【0.9,0.99,0.999,...的这无穷个点中不包含1这个点。】这是静态的描述，没有小球的参与。与我所说的1点之前包含这无穷个点，是一样的。但这不是小球参与的动态的无穷过程。不能混为一谈！

小球到达1点这一步操作，是指从1点之前到达和经过1点。这一步发生了什么，薛老师还是没有理解。小球在这一步操作中经历了第一子过程中剩余的无穷个点，也经历了1点。当然其实小球经过剩余的无穷个点本身就意味着经过了1点。经过这剩余的无穷个点和1点的这一步是完整的不可分割的。到达1点才是标志经过这剩余无穷个点完成和整个无穷过程完成。当然点是可以分割的，可分为(0,1)和1点，但这是没有小球参与的静态的描述。

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