作为结束，本次对于大数定律的讨论将从数学角度进行。

首先，数学最希望得到命题的“充要”条件，因为充要条件是对命题本身的一次等价刻画，是对命题内涵的重新认识。以下均假设X1,X2,...,Xn...代表独立同分布的随机变量序列，

强大数定律   等价   X1的一阶矩存在；

弱大数定律   等价   xP(|X1|>x)收敛到0，当x趋近于正无穷。

由此也很容易看出，强大数定律蕴含了弱大数定律。具体内容大家可以查阅Durrett的教材第一章。定理的证明用到了“截断”技术。

 

另外，我们以强大数定律为例，“X1+X2+...+Xn/n几乎处处收敛到E(X1)”。把E(X1)移到左端通分之后，可以理解成

Xi-E(Xi)(i=1,2,3...)的算术平均值几乎处处收敛到0。我们换个角度看，可以把它理解成Xi-E(Xi)求和之后的增长速度不如“n”快。数学分析的一个重要内容就是寻找变量的“阶”。那么Xi-E(Xi)求和之后的阶应该是多大？除以这个“阶”以后，它在什么意义下收敛到非零量？

由此，引出了中心极限定理。中心极限定理告诉我们，这个“阶”应该是“根号n”的样子。

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