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欧几里得几何,欧几里得空间,欧几里得结构 - 维基(译文)

已有 849 次阅读 2022-12-1 00:43 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

欧几里得几何始于欧几里得的《几何原理》,它既是对当时的几何知识的总结,也是对这些知识进行数学形式化的尝试。阐述了线、平面、长度和面积的概念,是初级几何课程的基础。几何学的概念与古典意义上的周围物理空间的视野密切相关。

自欧几里德的工作以来,几何学概念沿着三条主线发展:

- 为了符合当前的逻辑严密性标准,公理定义发生了深刻的变化,但数学对象却没有改变。

- 为了不局限于二维和三维,并允许阐述一个更强大的理论,设想了一个几何学的代数模型。欧几里得空间现在被定义为具有标量积的有限维度的实向量或仿射空间。

- 最后,欧几里得的几何结构不再是唯一可以考虑的结构;已经确定还有其他相干的几何结构。

在诞生2000多年后,欧几里德几何空间仍然是一个有效的工具,有着广泛的应用。除了宇宙和微观尺度之外,物理学家的空间仍然主要在欧几里得几何学的领域。


参考文献:

https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne


La géométrie euclidienne commence avec les éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.

Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux :

- pour vérifier les critères de rigueur logique actuels, la définition axiomatique subit de profonds changements, l'objet mathématique restant néanmoins le même ;

- pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien est maintenant défini comme un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire ;

- enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est établi qu'il existe d'autres géométries cohérentes.

Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. à l’exception des échelles cosmiques et microscopiques, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne.




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