在足球比赛前，裁判员往往会通过抛掷一枚硬币来决定哪个队先开球，因为大家都认为采用抛硬币来决定谁开球的规则是公平的。

为了证明这一点，人们搬出了《概率论》教科书中数学家做过的抛硬币试验。

数学家的抛硬币试验结果表明：当大量重复抛掷一枚硬币时，出现正面与反面的频率会稳定在常数 0.5附近，《概率论》教科书将这个常数定义为硬币正、反面出现的概率。

因此，人们就想当然地认为：裁判员抛出硬币后，硬币出现正面和反面的可能性（概率）均为0.5，采用抛硬币的做法是公平的。

事实上，数学家的抛硬币试验结果只表明：当抛硬币试验次数n足够大时，n个试验结果会呈现出50%正面朝上和50%反面朝上的统计分布规律，而不是指某一次硬币抛出后，正、反面出现的可能性也各为50%。

随机现象的本质特征是大量随机试验结果具有确定性的统计规律，而单个随机试验结果是不确定的。

单个随机试验结果虽然是所有可能结果中的一个，但出现哪一个结果是完全随机的，毫无规律可言，无法预测。

因此，裁判员抛出硬币后，我们虽然知道肯定会出现两种可能结果（正面、反面）中的某一个，但出现哪一个结果是完全随机的，其可能性是多少？只有上帝知道。

我们假设裁判员抛硬币的做法是公平（正面和反面出现的概率均为0.5）的，因此正面和反面出现的可能性完全相等，也就是说，正面和反面会同时出现，这意味着一枚硬币被裁判员抛出后会一分为二，出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的结果（图1）。

图1 正面和反面出现的概率均为0.5

当足球裁判员抛出硬币后（试验次数n=1），只可能有一种结果：

如果是正面朝上，则正面出现的频率为1，反面出现的频率为0，表明正面出现的可能性要大于反面出现的可能性；

如果是反面朝上，则反面出现的频率为1，正面出现的频率为0，表明反面出现的可能性要大于正面出现的可能性。

因此，无论出现哪种结果，都与“正面和反面出现的可能性完全相等”的假设矛盾，在逻辑上不能自洽，形成逻辑悖论。

总之，裁判员只抛一次硬币的做法完全是听天由命，无法判断公平不公平。