拉普拉斯方程是表面化学重要的公式之一，它反映了弯曲液面附加压力、曲率半径与液体表面张力之间的定量关系。本文拟结合热力学基本方程重新推导并解读该公式。

    1. 拉普拉斯方程

      1.1 大液滴分散

        过程：恒温下，将半径为r₁的大球形液滴分散为半径为r₂的小球形液滴。

        对应的热力学基本方程为：dG=-S▪dT+V▪dp+δW'=Σγ_i▪dAs_i   （1）

       析：恒温下液体表面张力γ与其分散度无关，因此整个过程液滴的表面张力γ保持恒定。

       另：由于该过程无化学反应及相变发生，其有效功δW'≡0.

       此时式（1）可化简为：dG=V▪dp=γ▪dAs   （2）

       该过程恒容，体积V保持恒定；

       小液滴总表面积为：As=4π▪r²▪[V/(4/3▪π▪r³)]=3V/r

       则：dAs=-3V/r²▪dr    （3）

      将式（3）代入式（2）并整理可得：dp=-3γ/r²▪dr 

      定积分可得：p₂-p₁=3γ▪（1/r₂-1/r₁）（4）

      假设r₁代表平面液体，则：r₁=∞；p₂-p₁=Δp

      分别代入式（4）可得：Δp=3γ/r₂

        即：Δp=3γ/R   （5）

       式（5）即为液滴分散过程对应的拉普拉斯方程，式（5）中R代表液滴的曲率半径。

    1.2 气泡成长

       过程：恒温下，半径为r₁的小气泡成长为半径为r₂的大气泡

       对应的热力学基本方程为仍为式（1）

       析：恒温下液体表面张力γ与其分散度无关，因此整个过程气泡的表面张力γ保持恒定。

       另：由于该过程无化学反应及相变发生，其有效功δW'≡0.

       此时式（1）同样可化简为式（2）

       半径为r球形气泡成长过程，

       体积V=4/3π▪r³    （6）

       面积As=4π▪r²  ，则：dAs=8π▪r▪dr   （7）

       将式（6）、（7）分别代入式（2）并整理可得：dp=6γ/r²▪dr     （8）

       将式（8）定积分可得：p₂-p₁=-6γ▪（1/r₂-1/r₁）（9）

       假设气泡最后成长为平面，此时：r₂=∞；p₂-p₁=Δp

       将上述条件代入式（9）可得：Δp=6γ/r₁

        即：Δp=6γ/R   （10）

       式（10）即为气泡成长过程对应的拉普拉斯方程，式（10）中R代表气泡的曲率半径。气泡为凹液面，计算时R规定带负值。

     2. 拉普拉斯方程通式

       结合式（5）及式（10）分析，由于弯曲液面形状并不一定为标准球形；其次也因为液滴分散与气泡成长体现的附加压力、表面张力与弯曲液面的曲率半径关系存在差异；再次由于弯曲液面的曲率半径不易准确测定，因此建议给出拉普拉斯方程通式为：Δp=k▪γ   （11）

       式（11）表示恒温下，弯曲液面的附加压力与表面张力成正比；k可称为弯曲常数，与温度，曲率半径及弯曲液面的物理性质等因素有关，其值只能由实验测定。

    3. 结论

    （1）液滴分散拉普拉斯方程：Δp=3γ/R ；

    （2）气泡成长拉普拉斯方程：Δp=6γ/R；

    （3）拉普拉斯方程通式：Δp=k▪γ