现在考虑让系统 $\mathcal{S}\{\}$ 的输入信号发生一段平移，也就是说自变量从 $x$ 变为 $x-x_0$ 。如果系统输出信号发生的唯一变化是相同的平移，那么这个系统就具有平移不变性（shift invariant）。如果信号自变量为空间坐标，那么这个系统就是空间平移不变系统;如果信号自变量为时间，那么这个系统就是时间平移不变系统。用数学公式表示，就是

$\mathcal{S}\{f(x-x_0)\} = g(x-x_0),$

这里的 $x_0$ 是一个常数。如果输入信号是 $\delta$ 函数，那么我们就得到脉冲响应：

$\mathcal{S}\{\delta(x-x_0)\}=h(x-x_0).$

平移不变系统的脉冲响应仅依赖于两个坐标的差值。

如果该系统恰好又是线性系统，那么它就被称为线性移不变系统（linear shift-invariant system），简称 LSI 系统。对于 LSI 系统，脉冲响应的线性叠加关系变为

$\mathcal{L}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)h(x-\xi)\ud \xi.$

也就是说，对于 LSI 系统，任意输入信号对应的输出信号，其实就是该输入信号和系统脉冲响应的卷积。由于卷积运算应用很广，我们用一个符号来简化表示两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积： $f(x)\otimes g(x)$ .

卷积满足一般乘法的交换率、分配率、结合率。通过卷积运算得到的函数，一般比两个原函数都更加平滑。