假设 $\psi(s;x)$ 是 LSI 系统 $\mathcal{L}\{\}$ 的本征函数，则有

$\mathcal{L}\left\{\psi(s;x)\right\}=H(s)\psi(s;x),$

这里的 $H(s)$ 是 $\psi(s;x)$ 的本征值，而 $s$ 是把本征值和本征函数联系起来的一个参数。本征值 $H(s)$ 通常是一个复数，可以用指数形式表示为

$H(s)=A(s)e^{-i\phi(s)}.$

由以上二式我们可以得到

$\mathcal{L}\left\{\psi(s;x)\right\}=A(s)e^{-i\phi(s)}\psi(s;x).$

从这里我们可以看出，系统的本征函数是一类特殊的输入信号，它们的输出和输入除了相差一个复因子外具有相同的形式。

下面我们证明： $e^{i2\pi sx}$ 是 LSI 系统的一个本征函数。假设

$\mathcal{L}\left\{e^{i2\pi sx}\right\}=g(s;x),$

现在让输入信号平移 $x_0$ ，根据 LSI 系统的平移不变性，

$\mathcal{L}\left\{e^{i2\pi s(x-x_0)}\right\}=g(s;x-x_0).$

再根据线性原理

$\begin{split} \mathcal{L}\left\{e^{i2\pi s(x-x_0)}\right\} &= \mathcal{L}\left\{e^{-i2\pi sx_0}e^{i2\pi sx}\right\} \\ &= e^{-i2\pi sx_0}\mathcal{L}\left\{e^{i2\pi sx}\right\} \\ &= e^{-i2\pi sx_0}g(s;x). \end{split}$ $\begin{align} \mathcal{L}\left\{e^{i2\pi s(x-x_0)}\right\} &= \mathcal{L}\left\{e^{-i2\pi sx_0}e^{i2\pi sx}\right\} \nonumber\\ &= e^{-i2\pi sx_0}\mathcal{L}\left\{e^{i2\pi sx}\right\} \nonumber\\ &= e^{-i2\pi sx_0}g(s;x).\nonumber \end{align}$

由上面两式我们得到

$g(s;x-x_0)=e^{-i2\pi sx_0}g(s;x).$

当 $x_0\to 0$ 时，上式就变成了关于 $g(s;x)$ 的微分方程。求解这个方程，我们可以得到 $g(s;x)$ 满足

$g(s;x)=H(s)e^{i2\pi sx},$

其中， $H(s)$ 表示一个和 $s$ 有关的复常数。于是，我们证明了 $e^{i2\pi sx}$ 是 LSI 系统的一个本征函数，对应的本征值为 $H(s)$ 。

上面的本征值及本征函数中，包含一个不确定的参数 $s$ ，因此结果对应的不是一个单一的函数，而是以 $s$ 为参数的一系列本征函数。由于本征函数相对简单的变换性质，如果我们能把任意输入信号按照本征函数展开，那么就很容易得到各个分量的变换结果，然后再把它们合成为最终的输出信号。这个按照本征函数展开的过程，就是我们熟悉的傅里叶变换；而参数 $s$ 对应的物理意义，就是频率。