如果将一个函数按照 LSI 的本征函数展开，我们可以得到

$f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s) e^{i2\pi sx} \ud s,$

其中的系数 $F(s)$ 被称作 $f(x)$ 的傅里叶变换，其表达式是

$F(s)=\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i2\pi sx} \ud x,$

而第一个公式则被称作傅里叶变换的逆变换。

傅里叶变换和逆变换的区别，仅仅在于指数函数的符号。其实，只要我们保证指数函数的符号相反，把哪个式子称为傅立叶变换，哪个式子称为逆变换，并不那么重要。如果函数 $f(x)$ 是偶函数，那么这仅有的区别也不存在了，傅里叶变换和逆变换完全可以具有相同的形式。下面我们看看函数的奇偶对称性对傅立叶变换有什么影响：

• 奇函数的傅里叶变换是奇函数;

• 偶函数的傅里叶变换是偶函数;

• 实函数的傅里叶变换是厄密（Hermitian）函数。
  

所谓厄密函数，就是满足条件 $f(-x)=f^*(x)$ 的函数。厄密函数的实部是偶函数，虚部是奇函数。

下表列出了傅里叶变换的一些基本性质：

除了这些基本性质，还有一个常用的恒等式，被称作功率定理：

$\int_{-\infty}^\infty f_1^*(x)f_2(x)\ud x = \int_{-\infty}^\infty F_1^*(s)F_2(s)\ud s.$

当 $f_1(x)=f_2(x)$ 时，该恒等式就变成我们熟悉的帕塞瓦尔定理（Parseval's theorem），或者称作瑞利恒等式（Rayleigh's Identity）。该等式表示原函数和它的谱函数的积分具有相同的能量。这个结论毫不奇怪，因为信号所包含的能量不应随我们计算的方式（在时域或者频域计算）发生变化。