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线性光学笔记（10）：传递函数

已有 8871 次阅读 2013-7-24 04:18 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:学者| 线性光学, 传递函数

在第6节我们介绍过，对于 LSI 系统，任意输入信号对应的输出信号可以表示为输入信号和系统脉冲响应的卷积。用公式表示，就是

$\mathcal{L}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)h(x-\xi)\,\mathrm{d} \xi = f(x)\otimes h(x). \\$

现在，让我们从傅里叶变换的角度，再次讨论一下 LSI 系统中任意输入信号的输出信号。由傅里叶变换，函数 $f(x)$ 可以表示为

$f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s) e^{i2\pi sx} \,\mathrm{d} s.$

根据线性变换的性质， $f(x)$ 的输出信号为

$\mathcal{L}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^\infty F(s) \mathcal{L}\{e^{i2\pi sx}\} \,\mathrm{d} s.$

我们在第7节介绍过， $e^{i2\pi sx}$ 是 LSI 系统的本征函数，对应本征值为 $H(s)$ 。因此，上式可以表示为

$\mathcal{L}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^\infty F(s)H(s)e^{i2\pi sx} \,\mathrm{d}s \\ \mbox{}\qquad\qquad\quad\,= \mathcal{F}^{-1}\left(F(s)H(s)\right) \\ \mbox{}\qquad\qquad\quad\,= f(x)\otimes \mathcal{F}^{-1}\left(H(s)\right),$

这里 $\mathcal{F}^{-1}(\,)$ 表示傅里叶变换的逆变换，而上式中最后一步用到了傅里叶变换的卷积性质。

通过比较上式和本节第一个式子我们可以得知，本征值 $H(s)$ 其实就是系统脉冲响应函数的傅里叶变换。 $H(s)$ 被称作系统的传递函数（Transfer function）。脉冲响应和传递函数，分别从时域和频域描述了 LSI 系统的变换性质。

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