前几节我们介绍了线性系统的基本理论，下面我们开始把它和光学系统联系起来。光学中一类重要的问题就是衍射。通常我们提到衍射，往往和小孔或者障碍物联系起来。其实，广义上来讲，衍射研究的是光从空间某一处到另一处的传播。我们从最简单的单色光入手，研究它在自由空间里的传播。

在第 1 节，我们已经介绍了电磁波的标量波动方程。下面我们就按照处理数理方程的一般方法，在一定边界条件下使用格林函数求解这个波动方程。

单色光可以表示为（参见第 2 节）

$u(\vec{r}, t) = U(\vec{r})e^{-i2\pi\nu t}.$

将上式代入第 1 节中提到的波动方程，我们就得到亥姆霍兹（Helmholtz）方程：

$(\nabla^2+k^2)U = 0,$
其中， $k=2\pi/\lambda$ 是波矢。

根据格林函数的定义，亥姆霍兹方程的格林函数 Ｇ 满足下面的方程：

$(\nabla^2+k^2)G = -\delta(\vec{r}_0-\vec{r}_1).$

其中， $\vec{r}_0$ 和 $\vec{r}_1$ 分别表示 $P_0$ 点和 $P_1$ 点的位置。 $P_0$ 点为待求解的观察点， $P_1$ 点为空间任意一点。

为了从格林函数 G 得到 U 的表达式，我们需要用到格林第二公式：

$\iiint_V\left(U\nabla^2G-G\nabla^2U\right)\,\mathrm{d} V = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d}S,$

其中 S 是包围着区域 V 的封闭界面， U 和 G 是空间坐标的复函数， $\partial U / \partial n$ 、 $\partial G / \partial n$ 是沿曲面 S 外法线方向的方向导数（如下图所示）。

将亥姆霍兹方程代入格林第二公式，我们可以得到

$\iiint_V\left\{U\left[-\delta(\vec{r}_{01})-k^2G\right]+G(k^2U)\right\}\,\mathrm{d} V_1 = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1,$

$-\iiint_V\delta(\vec{r}_0-\vec{r}_1)U\,\mathrm{d} V_1 = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1,$

利用 $\delta$ 函数的性质，

$U(\vec{r}_0) = \iint_S\left(G\frac{\partial U}{\partial n}-U\frac{\partial G}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1.$

上面方程中的角标 1 表示微积分运算的对象是 $P_1$ 点。

从上式我们可以看出，在无源的情况下，包含在一定区域内的任意一点的场强，可以通过该区域边界上场强的积分来确定。

有一点提醒大家注意：上面的推导其实是有一点问题的，因为格林公式要求函数的二阶导数连续，而格林函数 G 显然不满足这个条件。这来源于 $\delta$ 函数的特殊性质。还有一种做法是，以 $P_0$ 点为中心挖去一个小球，在小球面和边界之间的区域使用格林公式，然后让小球半径趋于 0。对这种方法感兴趣的读者，可以参考 Goodman 的《傅里叶光学导论》。由于 $\delta$  函数的定义已经包含了取极限的部分，所以我们这里采用的推导方法在形式上更简单一些。

到目前为止，我们还没有涉及格林函数的具体形式。下面我们将讨论不同形式的格林函数对于方程解的影响。