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公式之美

已有 10736 次阅读 2012-9-16 08:49 |系统分类:科研笔记|关键词:学者| 美丽, 公式

有这样一个故事。英国物理学家霍金创作过一本科普名著《时间简史》,在该书的前言里,他曾这样写道:“有人告诉我,我放在书中的每一个方程都会使本书的销售量减>半,为此我决定一个方程也不用。然而,在最后我确实用了一个方程,即爱因斯坦著名的方程($E = mc^2$),我希望这个方程不会吓跑一半我的潜在读者。” 这里纯粹作为
科普,讲述公式之美。

在我的理想中,公式的美在于对称性之美,在于简洁之美,也在于深刻之美。下面分析几个常用的例子,希望对大家做科研就帮助。

1. Euler公式, $e^{i\pi} + 1 = 0$. 这个公式太漂亮了,$e$, $\pi$都是无理数,但是它们的关系居然如此神奇。 康斯坦斯·里德称她为“最卓越的数学公式”,而理查德
·费曼把她唤作“欧拉的宝石”。伟大的高斯更是语出惊人:“如果被告知这个公式的学生不能立即领略她的风采,这个学生将永远不会成为一流的数学家。”

2. Einstein公式, $E = mc^2$. 能量,静止质量,光速三个看起来完全没有关系的东西居然如此巧妙结合在一起。Einstein相对论推导了很多类似的公式,这些结果把很>多物理量之间建立了神奇的关系。

3. Majorana费米子, $\gamma^\dagger = \gamma$。这个结果太神奇了,因为它告诉你粒子=反粒子,它的总电荷为0, 质量为0.


4. 热力学定律$\Delta S \ge 0$. 这个公式告诉大家,永动机不可能实现。当然这个公式在19世纪有很多丰富的联想,比如宇宙最后会趋于寂静,宇宙最后会毁灭。这就>是19世纪初“热寂说”理论的依据。它的深刻物理还是现在很多人继续挖掘的基础。

5. 冷原子中, $\Delta = \eta E_F$. 在冷原子中,如果散射长度无穷大,那么唯一的能量单位为$E_F$ (费米面能量), 所以序参量必须和$E_F$为单位, $\eta$是universal的常熟。这个公式所揭示的物理内涵尽管没有前面几个那么重要,但是还是非常重要的,也是很深刻的。

6. Feynman传播子. $K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]$. 这个公式的物理意义非常丰富,它揭示了>两个不同时空点之间的关系,尽管它比前面几个公式都要复杂得多。

7. Dirac方程, $\left(\beta mc^2 + \sum_{k = 1}^3 \alpha_k p_k \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t) }{\partial t}$. 它揭露了粒子和反粒子的关系。这个公式的意义太丰富了,写一本书都可以。

8. Langhlin波函数,$\langle z_1,z_2,z_3,\ldots , z_N \mid n,N\rangle = \psi_{n,N}(z_1,z_2, z_3, \ldots, z_N ) = D \left[ \prod_{N \geqslant i > j \geqslant 1}\left( z_i-z_j \right)^n \right] \prod^N_{k=1}\exp\left( - \mid z_k \mid^2 \right)$. 这个公式集结了对称,简约,准确几个特点。后来研究还包括拓扑结构,以及和BCS波函数的关系。本来无法求解的物理问题,居然有如此漂亮的波函数,了不得了不得。

9. Ryderberg 常熟,$R_\infty = \frac{m_{\mathrm{e}} e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} = 1.0973... \times 10^7  \mathrm{m}^{-1}$. 非常棒的物理关系,因为它揭露了很多不同物理基本常熟的关系。理解这个常熟的物理意义(不包括它的推导),可以在很大程度上加深对物理的认识。



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2 蒋迅 陈远川

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