Zmn-0965  薛问天:   集合同以集合为值的函数，集合序列，是两个不同的概念。评李振华的《0964》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李振华先生《Zmn-0964》的评语。。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 集合同以集合为值的函数，集合序列，这是两个不同的概念。评李振华的《0964》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李振华先生说一条静止的长度不变的线段的长度，我们可以测量。如果是长度在变动的线段，【如果线段在运动。那怎么办呢？薛逻辑认为无法测量。】这显然是对我的观点的故意歪曲和捏造。我什么说过【无法测量】。

如果让我来说，不是【无法测量】。而是要清楚你测量的是什么。对于一个固定的线段，你测量的是线段的【固有长度】，但是对变动的线段，它根本就沒有【固有长度】，你测量的是线段【t时的瞬时长度】。如果你把各时刻的长度都测了，你测的结果是线段的【长度函数】。

李振华先生，你在概念上要搞清楚，【固有长度】，【瞬时长度】和【长度函数】这是不同的概念，不能混为一谈。

我早已说过，李鸿仪先生的【可变集合】可以在集合论中严格陈述，他说的【可变集合】，并不是一个集合，而是集合函数。由于他说的自变量是全体自然数集合，以自然数集合作自变量的函数，称为无穷序列，所以他说的【可变集合】实际上严检地讲是【集合序列】。而且他还限制是有穷集合的无穷序列。

同理请李振华先生注意，【集合】，同【集合函数】【集合序列】是不同的概念，不要混为一谈。

而李鸿仪先生硬是把【可变集合】这个【集合序列】看作是【集合】，从而引出许多矛盾，不仅違背了集合论的各项公理，还在逻辑上陷入一团糟，回答不了我提出的具体问题。

李鸿仪先生的【可变集合】，不是外延确定的集合。要知道集合是由外延是否相同来决定集合是否相同，没有确定的外延，如何判定两个【可变集合】是同一个集合还是不同的集合。

既然【可变集合】没有确定的【元素数目】，只是个变化的【变量】，怎么还能比较【元素数目】的多少。

李鸿仪先生的逻辑一团糟，回答不了这些问题。但这并不是【一个难于上青天的问题】，我来替李先生把此问题澄清。

李鸿仪先生的【可变集合】是有限递增集合的无穷序列:A1,A2,A3,...。称作可变集合(序列)，记作A*。序列的每项An都是有限集合，而且是递增的，即An⊆An+1，不过这里的递增不是严格递增，可以相等。所以不变的集合(序列)也是可变集合(序列)的特殊情况。

例如序列N*: {1}.{1,2}....，序列N*的通项是Nn={1,2,3,...,n}。序列N*的并集∪N*就是全体自然数集合N。

定义1，称两个可变集合(序列)A*,B*相等是同一个可变集合(序列)A*=B*，当且仅当对任何n，都有An=Bn。

例如序列N0*: {0}.{0,1}.{0,1,2}....，序列)N0*的通项是N0n={0,1,2,3,...,n}。序列N0*的并集∪N0*就是含0的全体自然数集合N0。

由于对同样的n，有Nn≠N0n，所以按定义1，可变集合(序列)N*≠N0*。

再例如序列N'*: {1,2}.{1,2,3,4}....，序列)N'*的通项是N'n={1,2,3,...,2n}。序列N'*的并集∪N'*仍然是全体自然数集合N。

但是有同样的n，使Nn≠N'n，所以按定义1，可变集合序列N*≠N'*。可見并集相同都是N的可变集合(序列)可以不同。

定义2，我们把可变集合(序列)A*各项有限集合An的元素个数形成的序列|A1|.|A2|....称为可变集合(序列)A*的元素数目序列。记作|A*|。

可見对可变集合(序列)并不存在【元素数目】，而是存在【元素数目序列】。

定义3，如果对所有的n都有|An|≥|Bn|，则称|A*|≥|B*|，同样，如果对所有的n都有|An|=|Bn|，则称|A*|=|B*|，

也就是说，对于可变集合(序列)，不是讨论它们元数数目的相等或多少，而是讨论它们的元素数目序列是否相等和大小。

由此可以明确看出，在集合论中完全可以把可变集合(序列)的各种问题严格地定义和叙述得清清楚楚，而李鸿仪先生硬把集合序列当作一个集合，回答不出这些基本问题，用【比如】来进行搪塞用一些毫无定义语句，如【扩展程度】，变量的【比较大小】等来表述，不仅否定集合论中的公理，还在逻辑上是一团糟。(以上内容可見《0962》跟帖评【9】)

我们来看看李振华先生举的例子。

显然如果可变集合的序列的自变量以集合变化的次数n来计算。李振华先生的第一个例子是序列A*:

A1={1}，a2={1,2}，...，An={1,2,...,n}。

第二个例子是序列B*:

B1={2}，B2={2,4}，...，Bn={2,4,...,2n}。

由于存在n，使An≠Bn，所以A*同B*是两个不同的可变集合。即A*≠B*。

另一方面由于对任何n，都有通项基数相等|An|=|Bn|，则A*和B*是两个基数序列相等的可变集合，即|A*|=|B*|。

这点同李振华先生的结论不同。

综上所述，我的意見並不是可变集合(序列)【无法比较大小】，而是要明确你比较的什么东西的大小，含义必须清楚。集合序列并没有固有的基数，所以比较的不是固有基数的大小，而是序列的项的基数所形成的基数序列的大小。

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