Zmn-0967 薛问天:    为什么说北大教材微分定义不妥，兼评沈卫国《Zmn-0966》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是他的《Zmn-0959》文章的续篇，并兼评沈卫国先生的《Zmn-0966》。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

为什么说北大教材微分定义不妥，兼评沈卫国《Zmn-0966》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

我曾写过一文《Zmn-0959  薛问天: 北京大学高等数学教材微分定义中的一点不妥之处。》我想对为什么说其【不妥】，再做一些解释。

所说的不妥，是指北大教材微分定义中，在等式

f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)后加上(Δx→0)这个括号注释是不妥的。

说其不妥的原因主要有两点。

第一点′，在教材中没有解释在一个等式φ(Δx)=ψ(Δx)后加上(Δx→0)，它的含义指的是什么？在沒有说明这个用语的确切含义，就在文中使用，显然是不妥的。

要知道在数学中对φ(Δx)→a(Δx→0)，是有确切含义的，这就是极限的定义。即对任意的ε>0，都存在δ＞0，当Δx<δ时有|φ(Δx)-a|<ε。

但对φ(Δx)=ψ(Δx)(Δx→0)，並没有给出任何定义和解释，它的确切含义倒底是什么？

这只能猜了，显然不是指当Δx→0时φ(Δx)和ψ(Δx)的极限相等。我想最合适的解释，应是φ(Δx)=ψ(Δx)后加上(Δx→0)，含义是指【存在δ＞0，使在Δx∈{-δ.0}U{0,δ}时有φ(Δx)=ψ(Δx)。】

假定北大教材作者认为这就是他们的意思，愿意对教材作这样的解释，我认为这也没有出错误。但是这就有我要讲的第二点。

第二点，这样的解释下在等式

f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)后加上(Δx→0)这个括号注释是完全没有必要的。

因为这个等式如果存在有较小的邻域，【存在δ＞0，在Δx∈{-δ.0}U{0,δ}时】，使f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)成立，則对更大只要f(x0+Δx)有定义的任何区域，则都存在一个高级无穷小o(Δx)，使等式成立。关键是因为公式中有o(Δx)只要是Δx的高级无穷小公式就成立。Δx的高级无穷小这个变量o(Δx)有个特性。只要存在某δ邻域，这个变量o(Δx)是Δx的高级无穷小，那么把此变量在此δ邻域{-δ.0}U{0,δ}以外，换成其它任何值，所得到的变量仍然是Δx的高级无穷小。因而在{-δ.0}U{0,δ}以外，就令o(Δx)=Δy-AΔx，此公式始终都是成立的。

也就是说强调此公式在较小的δ邻域中成立，在等式

f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)后加上(Δx→0)这个括号注释是完全沒有必要的。

因为强调的意思是在说，等式在大的区间中不成立没关系，只要存在个小区问，在小区间中等式成立就可以了，就可微了。但实际上是只要存在个小区问，在小区间中此等式成立，则此等式在任何大的区间中也成立。如果在大区间中不成立，在小区间中也不可能成立，也就是说，这个等式的成立同邻域区间的大小沒有关系，所以做这种强调就是毫无必要的了，完全是多余的事。

也就是说微分定义中，在此等式后加上(Δx→0)，是不妥且完全沒有必要。在这里要把它说成是【错误】，当然有些过分，实际上只是

【不妥】和【不必要】，还不能算【错误】。下面我们来评论沈卫国先生的评论。

沈卫国先生在《0965》中说【对微分的定义，加了一个限制条件△x → 0。这实际上根本就是错的。而不仅仅是什么“不妥”的问题。】他的这个结论以及叙述的理由，我认为是错误的，是对极限和条件△x → 0的理解有误。

沈先生说【由于Δx→0就是0，因此我们定义在Δx→0时φ(Δx)=a是完全可以的，这就是一个定义问题，凭什么不行？这与φ(Δx)→a 并无区别。】沈先生的错误源自对极限的理解错误。φ(Δx)当Δx→0時的极跟是a，的含义是当Δx趋近于0时φ(Δx)趋近于a。【趋近】是无限接近的意思，绝不能理解为【等于】。把【趋近】理解为【等于】，认为φ(Δx)→a(Δx→0)是【在Δx→0时φ(Δx)=a】是完全错误的。因为完全有可能对任何Δx，都有φ(Δx)≠a。

另外，在极限符号lim(Δx→0)φ(Δx)=a中，並不是说在Δx→0时φ(Δx)=a，而是说在Δx→0时φ(Δx)的极限等于a，limφ(Δx)=a。有lim这个符号。

沈先生说【如果△x → 0等于0，此时f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)等式两边当然都是0，微分没有了任何意义。故此，不能令△x → 0。】

沈先生这样来理解Δx→0的含义，把等式两端的极限为0说成是【两边当然都是0】，显然是毫无根据的。以此来作为教材有错的理由，当然也是不合理的。不能这样随意解释。

总之，不是薛先生，而是沈卫国先生【给出的关于微分式不能有Δx→0的理由是错的】。

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