Zmn-1002 薛问天 : 为什么说【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的不用，在实质上还是用到了极限概念。评师教民的《1001》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1001》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

为什么说【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的不用，在实质上还是用到了极限概念。评师教民的《1001》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

现在我们来评述师教民先生的评论。本质上是两个问题。

(一)为什么说所谓的在微积分中【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。我们是从事实上和道理上来讨论这个问题。看实际上是否如此。不是讨论谁是怎么说的。不论谁怎么说都要尊重这个事实。我们讨论的是这个事实。

(二)，第二代微积分有沒有错误，这是关键。如果认为没错，那微积分就能讲清楚，就能最终听明白，如果有错那就讲不清楚，就最终【听不明白】，【是废物】。所以关键是把此问题认识清楚，不在其它技节问题上纠缠。

所以本文就在这两个基本问题上发表我的看法。

(一)为什么说在微积分中所谓的【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。

在微积分中出现了若干【不用极限】的微积分。我们对其仔细分析，看看它用的是什么，本质是什么。查看真正的事实，为什么说这个【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。而不是师教民先生所理解的【不论在形式上、逻辑上、实际的含义上都不用极限，】

1)，我们从最简单的一个情况谈起，可能大家比较容易理解。我们知道我们可以用【无穷小函数】来

定义微积分，而【不用极限】来定义。

我们称实函数φ(x)(定义域为对适当的正数A的区间(0,A))，是当x趋近于0时的无穷小函数，当且仅当对任何ε>0时，存在δ>0，使当x<δ时有丨φ(x)丨<ε成立。

显然可以用【无穷小函数】这个概念来定义导数。

导数的定义。我们称函数y=f(x)在x=a奌可导，而且导数是B，当且仅当，有适当的A>0，使得对任何Δx，Δx∈(0.A)，

φ(Δx)=丨Δy/Δx-B丨是【无穷小函数】。

显然这样的定义说明微积分可以用【无穷小函数】这个概念来严格定义，而【不用极限】。

显然，对于这样的【不用极限】，你能说它是【不论在形式上、逻辑上、实际的含义上都不用极限】吗？显然不能，只能说这个【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。因为这只是字面逻辑上的不同，【无穷小函数】和【极限】概念在本质内容上是密切相关的，有等价的关系。当x趋于a时函数ψ(x)的极限是B，就是有适当的A>0，函数ψ(x)同B的差的绝对值是无穷小函数。这在内容上是等价的。当x趋于a时函数ψ(x)的极限是B，当x→a时ψ(x)→B，当且仅当丨ψ(x)-B |=φ(x)是无穷小函数。

而且我们知道【无穷小函数】实际上就是【极限为0的函数】。即当x→0时函数φ(x)的极限为0，φ(x)→0(x→0)。【无穷小函数】本质上就是同【极限】有关。

2)，有了上述准备，就很容易理解为什么张景文先生用【非负、不減、无正下界】的函数定义的微积分，这个【不用极限】，同样指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。

关于这点，我在《0996》中已说清清楚。

我们把【非负、不減、无正下界】的函数，简称为【非不无函数】。

我们来探讨【极限为0的函数】和【非不无函数】之间的关系。

我们先来证明如下这个事实。对任何【极限为0的函数】φ(x)，都存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。

对于(0，A)上的【极限为0间函数】φ(x)，我们把等于函数φ(x)在(0,h]中函数绝对值的最大值的函数d(h)=max{ |φ(x)| x∈(0,h]. }，称为是函数φ(x)的前最大函数。显然这样定义的前最大函数满足对任何x∈(0,A)有|φ(x)|≤d(x)，而且可证d(x)是【非负、不減、无正下界函数】。其中非负是因为函数d(h)是由绝对值的最大值决定的。不減很容易证，因为设h1<h2，有(0,h1]⊂(0,h2]，所以由前最大函数的定义知d(h1)≤d(h2)。現在证明d(h)不存在正下界。因为φ(x)是【极限为0的函数】，当x→0时φ(x)→0，所以对任意正数ε＞0，都存在在δ，使在x∈(0,δ]时|φ(x)|≤ε，从而d(δ)≤ε。可見d(h)无正下界。这就证明了φ(x)的前最大d(h)是非负，不减，无正下界的函数。

也就是说我们证明了。对任何【极限为0的函数】φ(x)，都存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。

反之，我们也可以证明，如果对函数φ(x)，存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。则φ(x)是【极限为0的函数】。这是因为如果对函数φ(x)存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。由于d(x)是无正下界的函数。所以对任意ε>0，都存在有δ，使d(δ)≤ε。再由于d是非負和不減的函数，所以对所有的x∈(0,δ)，即|x-0|＜δ，都有d(x)≤ε，但由于|φ(x)|≤d(x)，也有|φ(x)|≤ε。这就说明当x→0时φ(x)→0。即φ(x)是【极限为0的函数】。这就完全证明了下述重要定理。

定理。函数φ(x)是【极限为0的函数】当且仅当存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。

既然【非不无函数】d(x)同【极限为0的函数】φ(x)，有如此密切的关系。特别定理所述，凡是小于d(x)的函数都是【极限为0的函数】所以在用【非不无函数】d(x)定义导数中，说用【非不无函数】d(x)使

|(f(x+h)-f(x))/h -g(x)丨≤d(h)

实质上就是在说

|(f(x+h)-f(x))/h -g(x)丨是【极限为0的函数】。

所以说用【非负不減无正下界】的函数定义的微积分，这个【不用极限】，同样指的是形式上的，字面逻辑上的【不用极限】，在实质上还是用到了极限概念。

3)，同样，我所说的用【连续函数】而【不用极限】的方法，虽然也能严格做到在形式上，字面逻辑上完全【不用极限】，但本质上也是离不开【极限】的。因为连续函数的该点的函数值，就是函数的邻域函数值的极限。说导数等于连续函数g(Δx)在Δx=0点的函数值g(0)，就是在说它等于当Δx→0时g(Δx)的极限，即Δy/Δx的极限。所以从本质上讲它离不开【极限】。

综上所述，无论那种【不用极限】定义微积分基本概念的方法，尽菅都严格地做到了在形式上，字面逻辑上完全【不用极限】，但本质上是离不开【极限】的。因为这些定义虽然是严格【不用极限】定义的，但可以严格证明这些定义从本质含义上都同用极限的定义完全等价，也就是说在本质上仍然同【极限】密切相关，最终离不开【极限】。要知道这就是事实如此，无论是谁怎么说，只有这样的理解才是正确的理解。

(二)，第二代微积分有沒有错误，这是关键。

师教民先生的关键问题是他认为【第二代微积分根本就不严谨， 更未说清楚， 其中仍然存在着许多的重大科学错误． 】

所以我撰写文章的目的，就是对师先生提出的他认为是错误的地方，指出没有错误。

1)，至于他至今仍认为二代微积分【并非来源于客覌实践】，这只代表他的一种错误看法，并未具体指出二代微积分有何错误，所以不值评论。

从师先生的评论看来，师先生真的【连极限是什么都不知道】。我已经说得相当清楚，〖函数变量y=f (x)随自变量的变化而变，当自变量x无限趋近于a时，函数变量无限趋近于常数B．〗这就是〖当x→a时，函数f(x)的极限是B，〗的基本含义。

运动质点在某一时刻的瞬时速度，二代微积分把它定义为该点附近距离趋近于0时平均速度的极限，就是指的距离趋近于0时平均速度无限接近的数值等于瞬时速度。函数曲线在某一点处的切线斜率，二代微积分把切线斜率定义为增量趋近于0时割线斜率的极限，就是指的增量趋近于0时割线斜率无限接近于切线的斜率。这当然是长期实践后得到的认识。

2)，关于师先生所说的【制造出只去掉后边的极限符号而不去掉前边的极限符号的不公平的冤案】所得出的结论【极限理论就不正确了．在薛问天先生还未驳倒我的这一观点之前，极限理论就是错误的，】

其实对此错误覌点，早己驳倒。错误在于师先生把求极限的结果认为是【去掉极限符号lim[dx→0]，并令 dx=0】，这当然是不对的。

师先生仍然在说【只是去掉右边的lim[dx→0]并令 dx=0 得 2x+0=2x．但是极限理论至死不敢将(3)式 左边的lim[dx→0]去掉！“不予去掉”必不公平！“不敢去掉”必有难 言之隐． 】 

其实我在《0996》中已说过，〖要知道说【（该式左右都有lim[dx→0] ，且都有 dx≠0）】 这是对的。 但说【去掉右边的lim[dx→0]并令 dx=0 得 2x+0=2x】的说法是错误的，推论并不是简单地【去掉右边的lim[dx→0]】同时也并沒有【令 dx=0 得 2x+0=2x】。要知道这是因为根据极限理论，lim[dx→0]2x=2x，lim[dx→0]dx=0。并不是令dx=0。而是lim[dx→0]dx=0。这都是有根据的，是根据极限理论的规律严格推导出来的结果。〗

也就是说在公式右边，

lim[dx→0](2x+dx)=2x+0=2x。并不是师先所说的【去掉右边的lim[dx→0]并令 dx=0 得 2x+0=2x】，而是根椐极限理论，和的极限等于极限的和，

lim[dx→0](2x+dx)=

lim[dx→0](2x)+lim[dx→0](dx)

然后根据lim[dx→0]2x=2x，和lim[dx→0]dx=0，得出

lim[dx→0](2x+dx)=2x+0=2x。

这就是师先生的错误理解所在。

关键是师先生，你根据什么说

lim[dx→0]2x=2x，和lim[dx→0]dx=0。

是错误的。这是极限理论中最基本的规律。

lim[dx→0]2x=2x，是因为常函数的极限就等于这个常函数。lim[dx→0]dx=0。是因为恒等函数，因变量等于自变量，自变量趋近于0时，函数因变量的极限也等于0。这都是极限理论中的基本常识，师先生凭什么说它们是错误的。

这是极限理论的内容。你说它【根据了错误理论】，这个错误理论指的是什么？要知道你不要本末倒置，导数理论是建立在极限理论之上的，极限理论并不依赖于在导数理论上的应用。

从以上分析可知师先生所说的二代微积分i错误并不存在。

关于师教民先生所说的【第二代微 积分通过先加上极限符号（ 前部）、 后去掉极限符号（ 中部） 的手 段，把 2x+dx 中的不等于 0 的 dx 造假成了 2x+0 中的 0，即表现出和第一代微积分相同的 dx≠0 和 dx=0 的矛盾．】我已说清楚了，在极限理论中是坚持dx≠0的。lim[dx→0]dx=0的意思并不是令dx等于0，说的是dx的极限是0，所以这里并沒有【dx≠0 和 dx=0 的矛盾】。

3)，我在《0996》中说得非常清楚，〖师教民先生说【第二代微积分则把该导数定义为  

G(dx)=2x+dx(dx≠0) 在 dx→0 时的极限值． 但 G(dx)的极限值和 F(dx)的函数值实际是一回事，......】这段叙述是错误的。〗

 〖师先生所说的【G (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】一般的讲这是错误的，只有在函数F (dx)是连续函数时才有【G (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】，在一般情况下【lim[dx→0]F (dx)=F (0)】并不成立，作出这样的推论是完全错误的．〗

而师先生却说什么【『只有在函数F (dx)是连续函数时才有【F (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】』，薛问天先生把上述这段话中的F (dx)改为G (dx)就错了，】

师先生怎么一点推理知识都没有，连G(dx)同F(dx)的极限值相等都不知道。这里由在一般情况下【lim[dx→0]F (dx)=F (0)】并不成立，当然可以推出〖师先生所说的【G (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】一般的讲这是错误的，】

所以关键要讲清函数F (dx)是连续函数才行。

师先生说【薛问天先生把我已经声明的函数 G(dx)=2x+dx (dx≠0)， F(dx)=2x+dx (dx 可等于 0) 擅自改成了【一般的讲的函数】． 我只欢迎反驳我的观点， 拒绝讨论薛问天先生擅自改成的观点。】

这就是师先生的不对了，师先生是用这个例子来谈二代微积分的导数定义，当然必须要讨论你这个例子同一般讲的函数的关系。你这个例子的F(dx)=2x+dx是个特殊的连续函数，对它成立，但是对F(dx)不是连续函数的一般讲的函数是不成立的，就必须考虑，怎么能说是我【擅自改成的观点】还【拒绝讨论】了呢。

师先生说【我声明的G (dx)=2x+dx (dx≠0)，F (dx)=P2x+dx (dx可等于0)不是【一般的讲的函数】，F (dx)=2x+dx(dx可等于0)是连续函数，lim[dx→0][F (dx)(dx可等于0)]=F (0) 是正确的，故由此推导出的lim[dx→0]G (dx) =lim[dx→0]F (dx)=F (0)=2x+0=2x正确，如果如果薛问天先生认为上述推导及上式错误，请指出错在哪里，并说明错误的理由！】

可以这么说，如果师先生明确说明F (dx)=2x+dx(dx可等于0)是连续函数，上述推导和公式一点错误都没有，完全符合我强调的二代微积分关于用连续函数定义导数的等价定义。但是如果不说明F(dx)是连续函数，而是一般讲的函数，由于lim[dx→0]F (dx)=F (0)不一定成立，所以推导中说lim[dx→0]G (dx) =F (0)就是错误的。师先生所说的【G (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】就是错误的。这很明确，因为推导中的lim[dx→0]F (dx)=F (0)，要用到F(dx)是连续函数。

师先生接着说【也就是说，第二代微积分和第一代微积分的函数 y=x^2 的导数本质上都是2x+0=2x而相同，只不过是起的名字不同而已，名字的不同之处是：第二代微积分的名字叫极限值即lim[dx→0]G (dx)，第一代微积分的名字叫函数值即F (0)．】

通过前面的分析即可知，一般情况，不是师先生所说【第二代微积分的名字叫极限值】，【第一代微积分的名字叫函数值】。这里有个连续函数的区别。第二代微积分正确指出，如果dx≠0时有G(dx)=F(dx)，对于F(dx)是连续函数时，导数既是dx→0时G(dx)的极限值，也是dx=0点F(dx)的函数值。但若F(dx)不是连续函数时，只能是前者，后者并不成立。

4)，下面我们来谈谈正反函数的问题。

师先生说【我在我的原文中说的是：〖正反函数y=f (x)，x=g (y)．〗没有说【用的是正反函数构成的复合函数】，实际上也没有【设有函数x=g (y)，y=f (x)，构成复合函数x=h (z)=g (f (z))】．薛问天先生把我上述的原文擅自改成【正反函数构成的复合函数】，并把我的f (x)改成f (z)就不再是我的观点了．】而且还说【规劝薛问天先生找出我的原有观点的错误，如今薛问天先生换一个观点来反驳，所以就不是反驳我的观点了．】

师先生，我知道你是位高等学校的数学老师，不能在讨论中伪装成什么逻辑推理都不懂的小孩。难适你 真的不懂正反函数是复合函数的特例，真的不懂特例要滿足一般情况下的规律吗。

我告诉你，正反函数是复合函数的特例。正反函数是复合函数中的f和g恰恰互反，从而它的复合函数是恒等函数，即x=h(z)=g(f(z))=I(z)，而且令变量z等于变量x。在正反函数中讨论的就是这个复合函数，是恒等函数x=I(x)=x，左边是因变量右边是自变量。怎么能说【实际上也没有】构成复合函数呢。

要知道，关于复合函数的任何规律，正反函数都必须完全尊守。

师先生把dx2/dx1看作是正反函数复合函数的导数，这就把dx2这个函数g的因变量微分错误地认定为是复合函数的因变量微分，犯了严重的错误。从而使他的推论产生了严重的错误。

5)，师先生还说【薛问天先生对我指出的极限理论或第二代微积分的瞬时速率定义的错误还没有回复】。实际上师先生并指不出第二代微积分的瞬时速率定义有什么错误，只是他所理解的【瞬时速率为瞬时内走过的路程与瞬时之比,】是错误的，因为瞬时速率根本不可能为瞬时内走过的路程与瞬时之比。瞬时内走过的路程与瞬时都是0，怎么能比呢。第二代微积分把瞬时速率定义为一定时间内走过的路程与时间之比，在路程或时间趋近0时的极限，这是非常正确的定义。

师教民先生对第二代微积分持否定态度是不对的。他认为【存在着许多的重大科学错误 】，但是他实际上指不出任何第二代微积分的错识。他所指出的问题，我己指明全部都是他自己认识和理解的错误。他已无法回复。师教民先生必须承认这一无可争辩的事实。

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