Zmn-1024 薛问天 : 谈分歧认知的对错。评李鸿仪先生的《1023》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1023》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

谈分歧认知的对错。

评李鸿仪先生的《1023》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

现对《Zmn-1023 李鸿仪 : 我与薛问天先生的基本分歧。》的分歧认识的对错评论如下。

1)，自然数这个无穷集合的生成过程是可以完成的。

我们讨论问题首先要把概念弄清。要把这里说的【无限是能完成的】，【无  限是不能完成的】指的是什么意思先搞清楚。我这里所说的是自然数这个无穷集合的生成过程是可以完成的。这个无穷集合的生成过程分两步，第一步生成无穷多个有穷集，第二步求这无穷多个有穷集的并集。我认为这两个步骤都是可以完成的。第一步是个无穷过程，由{0}(或{1})开始，由有穷集合个数加1的过程生成下一个有穷集合。增加过程是无穷的，不半途终止。但这个不半途终止的生成过程，作为一个整体又是可以完成的。因为如果这个过程不能完成，则不能生成这无穷多个有穷集合。只能生成有穷多个有穷集合。要知道就是在这无穷生成过程完成之后，这无穷多个集合也都是有穷集合，其中并沒有无穷集合。只是在第二步求这无穷多个有穷集合的并集，才是产生了真正的无穷集合。第二步关于无穷个集合的并集，是由如下逻辑定义的。元素属于并集当且仅当元素至少属于其中一个集合。这个逻辑规定是完成了的，即完全清楚。

如果李先生不承认第一步的生成过程可能完成，那就不能承认存在无穷多个有穷集合，只承认有有限多个有穷集合。所以他认为在全部过程不能完成下，所定义的自然数集合，完全都只能是有穷集合，认为它们是无穷集合，则是不可能的错误的论断。

李先生在论述中说【唯一正确的解决方法就是用严格的逻辑来讨论。另一个要求是任何命题都必须有严格的证明且经得起反复推敲，不允许存在任何反例，更不能有任何自相矛盾。】这些原则我完全同意，关键是在讨论中是否真正地坚特使用。要具体地分析。

李先生说【如所周知，在数学中，无限大指的是数的大小没有界限或限制，可以一直增加。】

李先生的这句话并不符合事实，在数学中称具有无限大极限的序列是【无限大】。称具有无限大极限的函数变量是【无限大】。严格地说涉及【无限大】的概念，有如下几个定义。

(1)【无穷集合】，无穷集合定义为非有穷集合的集合称为无穷集合。

(2)【无穷序列】，我们把非有穷序列的序列称为无穷序列。显然无穷序列的项集合是无穷集，而且同自然数一一对应。如果无穷序列的项是实数，称此序列为实数的无穷序列。

(3)【无限大极限】，对实数无穷序列an，当n无限增大时，αn无限增大(此可用E∽Δ语言严格陈述，我们称无穷序列an有无限大极限，当且仅当，对任何E，存在Δ，使得当n>Δ时有an>E成立)，则称无穷序列an有无限大极限。对实变函数y=f(x)，当x趋近于a时，f(x)无限增大(此可用E∽δ语言严格陈述)，则称函数y=f(x)，有无限大极限。

(4)，在数学中称具有无限大极限的无穷序列是【无限大】。称具有无限大极限的函数变量是【无限大】。

因而李先生所说的【由于实数域内任何数都是有限的，因此实数域内的无限大就是指有限数的大小没有界限和限制而已，

因此，无限大的本质，其实非常简单:不过是可以永远增加的有限值，】

纯属李先生的主观臆想。在数学中根本没有【实数域内的无限大】这个概念。在数学中称具有无限大极限的无穷序列是【无限大】。

因而由此李先生所得出的结论【每一个自然数是有限的，但自然数集合是无限的，所以自然数集合的无限性仅在于:有限的自然数的增加过程永远不会完成。】就是错误的，得不出这样的结论。自然数集合是无限集，在它生成过程的第一步，需要生成无穷多个有穷集，只能说这个【有限的自然数的增加过程】是无穷的，不能半途终止，但不能说整个这个过程它【永远不会完成】，因为这个不能半途终止的无穷过程只有整个【完成】了，才能生成这无穷多个有限集，否则只能生成有限个有穷集，在第二步就生成不了真正的无穷集。

李先生辩解说【如果有限的自然数的增加过程可以完成，那就必然完成于某一个具体的自然数，也就是存在着最大的自然数，这时形成的就只能是有限集合，而不可能是无限集合。】

这当然说的不对。整个无穷过程的完成并不是过程的半途终止，而是整个无穷过程的完成。当然可以生成无穷个有限集。另外我们知道并不存在最大自然数。因而整个过程的完成并不意味着【那就必然完成于某一个具体的自然数，也就是存在着最大的自然数，】不是这样。整个无穷过程的完成意味着生成了无穷多个有限集。在第二步就可用这无穷多个有限集生成它们的并集无穷集。

这说明李先生混洧了有穷过程的完成同无穷过程的完成之间的区别。有穷过程的完成当然有最后一步的完成。有最后生成的一个自然数。而对于没有最大自然数的无穷集合生成过程的完成就没有最后一步，自然不存在最后一个生成的自然数。认为无穷过程的完成，就肯定存在有完成过程的最后一步，这是对无穷过程完成的错误理解。

因而李先生说的【无限大的本质就是不能完成】是不对的。无限的本质是非有限。无限过程的本质在于它不是有限过程。无限过程的步骡可能有无限步，在过程的执行过程中不可半途中止，不可有穷终止。但不能说因为是无穷，就说整个的无穷过程不能完成。整个的这个无穷过程完全可以完成。

例如我举的时间t从0到1时，t经过这无穷个时间点0.9,0.99,0.999,...的过程，就是经过无穷个点的无穷过程，但它可以完成。

2)，当时间t从0到1时，t经过这无穷个时间点的过程可以完成。

咱们讨论问题，把问题要说清楚。【无限不能完成】，要具体谈它指的是什么，不要抽象地谈。说清楚它的具体内容就清楚了。例如，我说的是时间从0到1，经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个时间点，当时间t从0到1时，t经过这无穷个时间点的过程可以完成。

你难道认为这个【t经过这无穷个时间点的无穷过程】不能完成吗？你难道认为【时间从0到1】，可以不经过这无穷个时间点吗？

李先生首先要认识这无穷个时间点的时间数都是有限位小数，这个序列中不存在有无限个9的无限位小数，但是它的个数是无限个，认为所有的9的个数是有限位的小数只有有限个是错误的。

其次，李先生应认识到序列的所有这些数都小于1，也就是说当t到达1时，经过这无穷个时间点的过程已经完全完成。李先生说【在t=1这一时刻，9的个数仍然在不断增加，只是每增加一个9只需要零秒而已。】这是错误的。因为t=1，该数已不是有限位小数，已不在这无穷个有穷小数的序列之中了。

李先生说【自然数的增加过程永远不会完成而已。】这是错误的。自然数的增加过程永远不会中途终止，但整个的无穷过程可以完成。李先生说【如果无限已经完成，有限值(例如用自然数表示的9的个数)就不能再增加了，哪里还有无限:9的数目不能再增加，当然就是一个有限小数而不是无限小数。】

不对，如果无限过程已经完成，就形成无穷多个有限小数。形成有限小数的无穷序列。我们把此无穷序列的极限:1,定义为无限位小数。无限小数有无限多个9，位的数目当然不能增加。

李先生认为t=1是这无穷序列到达的一个点是错误的，序列沒有最后一个点，所以无穷序列是不可达的。

3)，不要跟随古典实无穷观的错误观点。

认为无穷序列在无穷远处有最后可达的一个项，这是古典实无穷观的错误观点，李先生所说的【当有奇数个9时亮黄灯，有偶数个9时亮蓝灯，问t=1时亮什么灯？】就是基于这种错误提出的问题。序列的每个项是有限小数，当然这有限个9可以是偶数或奇数，所以对此无穷穷列的所有项，都可以有确定的回答是亮黄灯和蓝灯。但t=1不是序列可达的项，不是有限小数，当然不能回答是亮黄灯和蓝灯。

也就是说，李先生的断言和提问【如果无限可以完成，t=1时。要么亮黄灯，要么亮蓝灯，但究竟亮哪一种颜色的灯？】完全是错误的。当时间点到达t=1时，经过那无穷个时间点的过程当然已经完成，已成过去，已不是有限小数，怎么会亮黄灯和蓝灯。

李先生说什么【t=1时，9的数目仍然在不断增加，有无数个状态，其中一半状态亮黄灯，一半状态亮蓝灯。】纯系毫无根据的胡言乱语。要知道【9的数目仍然在不断增加，有无数个状态，其中一半状态亮黄灯，一半状态亮蓝灯。】这是这无数个有限小数的特征。当t=1时，这无穷个点已经完全经过完成，这个特征已完全不存在了。已不再亮彩灯了。

也就是说认为无穷序列有最后可达到的无穷项的古典实无穷观是错误的。现代实无穷观认为无穷序列的所有项构成一个无穷集。但此集中没有最后的无穷项，即无穷序列αn中不存在n=∞的项，即没有a∞。所以无穷序列是不可达的。

李先生认为【无限是可达的】，实际是跟随了古典实无穷观的错误。李先生说的物理学的解释就有类似的问题，如说电子的速度可以达到无限。说什么【数学上，如果假定速度是无限的，电子从某一个地方到另一个地方所需要的时间就是零秒，也就是说，在同一个时刻，电子可以既在这里又在那里。】这都是认为【无限是可达的】所带来的后果。

关于现代实无穷覌，请看我早期的文章

• Zmn-0606 薛问天： 区分两种实无穷观   2021-7-23 15:19

这是《评论园地》上:《易177-薛问天：区分两种实无穷观(2014.08,14)》的转載。

• Zmn-0077 薛问天：谈现代实无穷观-评林益先⽣《zmn-0072》的回复。   2019-12-2 16:49

4)，自然数集合没有最大自然数，同承认自然数集合的形成过程可以完成没有矛盾。

李先生说【承认自然数集合没有最大自然数，实际上也就是承认自然数集合的形成过程不能完成:一旦完成，就意味着不再有新增加的自然数，当然就不可能有更大的自然数了，这时必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数，与集合的无限性矛盾。】

这种推论显然是错的，自然数集合的形成过程一旦完成，新增加的自然数都在集合中，意味着不再有更大的不在集合中的自然数了，怎么就能断定【这时必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数，】要知道集合中有无穷多个自然数，只有在有限多个自然数中才能找到一个最大数。李先生怎么能这样无視有限集合同无穷集合的区别。

要知道只有对有限集合，才能找到最大自然数，才能对此最大自然数加1，增加新的不在集合中的自然数，这个增加的操作才是有效的。如果无穷集合的形成过程完成，已形成的是无限集合，就不存在最大自然数，也就不能对此数加1，这个对集合增加的操作就无效了，这就是无穷集合的特征。所以，自然数集合没有最大自然数，同承认自然数集合的形成过程可以完成没有矛盾。李先生说【如果连这样明显的自相矛盾都看不出来，那只能说明其思维已经糊涂到了极点。】其实说明李先生其思维已经糊涂到了极点的是把没矛盾说成是【明显的自相矛盾】。

李先生还由此得出另一错误的结论，认为无穷集合没有确定的外延。他说【同理，如果认为无限集合的外延是确定的，也意味着不再有新增加的自然数，这时也必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数。】同样，无限集合有确定的外延同它没有最大自然数没有任何矛盾。

另外李先生莫明其妙地说【有一个对康托理论深信不疑的网友不相信，我让他用最基本的找最大数的算法去编一个程序，最后他没话可说了。】不知道他想说明什么问题，所有的有穷集合，当然可以求出，也可以编个程序来求出它的最大值。但是对于无最大数的无穷集合，你怎么可能有算法，能编个程序来求出它的最大值呢？这是不可能的。

5)，全体自然数集合的存在性。

李先生由于错误地认为自然数这个无穷集合的生成过程不能完成。从而得出错误结论，认为全体自然数集合不存在。他说【既然自然数集合的形成过程永远不会完成，就没有任何理由可以讨论已经完成后的自然数集合:那样的集合根本就不存在。】

这里涉及怎样认识数学中的【存在】这个概念。在数学中有一个学派，称为沿用直觉主义逻辑的构造学派。他们对数学中的【存在】要求过高，只承认由有限的初始对象，经有效的构造方法构造的对象才认为是存在的对象。构造学派也承认全体自然数集合的存在，因为全体自然数都是由0经有穷次的加1运算而得到的。但他承认的存在的函数只是完全递归函数。因而他承认的构造性实数只是0.a1a2a3.....，其中函数an是变量n的完全递归函数。也就是说构造性实数只是常用实数的一小部分。事美证明用这样对存在的要求，只能研究很小一部分数学。这种枸造学派只形成数学中的一个分支。并没有为广大数学业界所接受。广大数学界仍认为只要逻辑定义清楚，系统公理不产生矛盾的无矛盾数学系统，就承认这个数学系统的存在。例如李先生所说的【欧几里得空间中研究的正十面体】。如果这正十面体里不产生矛盾，理论是相容的，就认为这正十面体是存在的。如果证明了正十面体中存在矛盾，才能认为这是不应研究的不存在的对象。这就是现代数学对【存在】概念的认识。

所以，在数学中你说某对象不存在，必须指出它的定义引出的矛盾来，指不出矛盾就不能说它不存在。李先生指不出定义自然数集合的皮亚诺公理中有任何矛盾，所以他就得不出自然数集合不存在的结论来。

李先生说【我们实际上观察到的自然数集合都是正在形成过程中的自然数集合，不存在已经完成了的、包括全体自然数的集合。】

从李先生这段话中可以看出他的【存在】指的是【我们实际上观察到的】，这显然是一个严重的错误。我们早已指出，【我们实际上观察到的】，不可能是无穷集合的全部元素。无穷集合的全部元素不可能全部都展现在你的面前。你就断定包括有全部元素的无穷集合不存在吗？错了，由感性认识还要通过逻辑推理才能得出正确的理性认识的结论，认识到这个无穷集合的存在。不能根据【我们实际上观察到的】来断定对象的【存在】。没有观察到就认为不存在。

6)，正在形成过程中的自然数集合都是有穷集合。

我们前面讲到全体自然数集合的形成过程中，第一步是生成无穷多个有限集。因而正在形成过程中的自然数集合只是有穷个自然数的有限集，它们的并集都是不同的自然数的有限集。

李先生说【由于形成过程的程度不同，所以在不同形成阶段的自然数集合互不相同，并不存在一个唯一的自然数集合。】

当然，在形成过程完成以前，生成的都是不同的自然数的有限集。不是那个唯一的全体自然数的无穷集。

李先生说【因此，自然数集合不能定义为由全体自然数组成的集合，只能采用其他方法定义，比如说可以定义为由无限个自然数1，2，3……为元素的集合，】

这纯属李先生的梦想，自然数生成过程如不完成，正在形成过程中的自然数集合都是有穷个有限集，根本不可能还【采用其他方法】定义成【由无限个自然数1，2，3……为元素的集合，】生成过程不完成，生成不了无穷多个有限集，不用求并集就形成不了自然数的无穷集。

7)，李先生所给的【证明】自然数集合的非唯一性的错误。

我来评李先生的主要明显错误。

主耍错误在【引理1 不存在全体自然数。

证明（反证法）：假定存在全体自然数，则性质1可改写为，对于全体自然数中任一个自然数n*，总存在无限变量的取值n’，使得n’﹥n*，即无限变量的取值n’可以大于全体自然数中的任何一个， 显然这与性质2矛盾，即不存在全体自然数。证毕】

错在【对于全体自然数中任一个自然数n*，总存在无限变量的取值n’，使得n’﹥n*，】(A)，后马上有个【即】，然后说

【无限变量的取值n’可以大于全体自然数中的任何一个，】(B)。错就错在这里，(A)成立不一定(B)就成立。因为(A)说的是(∀n*)(∃n′)[n′>n*]，全称量词在前存在量词在后，(B)说的是(∃n′)(∀n*)[n′>n*]，存在量词在前全称量词在后，因而(A)并不能推出[即](B)，这两者是不等的。(A)同性质2无矛盾，把(A)说成是(B)自然同性质2产生了矛盾。

李先生的这个错误说明他在数理逻辑知识上还有欠缺，需要补课。

这个【证明】的错误，说明【引理1 不存在全体自然数】並不成立。李先生关于对逻辑词【全体】和【任一】的解释也是错误的。李说【只有当“全体”这个概念存在时，“任一”才可以当作“全体”，】要知道在说【任一】时当然说的是某集合中任一元素，当然要承认此集合的【全体】元素的存在，否则你说的【任一】又是什么意思呢？是哪些元素中的【任一】呢？如果【全体】不存在，则【任一】毫无意义。

最后，李先生说【仅仅由部分自然数组成的自然数集合不可能永远是一样的，这就证明了

定理 自然数集合不是唯一的。】

这一切都说明李先生的逻辑是相当混乱的，李先生到处都在用【自然数集合】，但他的这个【自然数集合】到底指的是什么。有个明确的含义吗？李先生曾这样给出过定义，【定义1，可以包含任意一个自然数的集合，称为自然数集合。】而且把【自然数集合】表示为集合{1,2,3,......}。同时又把【自然数集合】说成是【正在形成过程中的自然数集合】，【在不同形成阶段的自然数集合】。而这次又说【由部分自然数组成的自然数集合】，把偶数集奇数集也都认为是【自然数集合】。请问李先生，你的【自然数集合】指的到底是什么？有没有确定的含义。

-----------------

到此李先生文中划了横线，说明正文已经结束，我的正式评论也就评论到此。李先生还在后面发了一些空洞的议论，我就不作详细评论了，实际上这些内容在前面已针对具体的内容作了评论。

例如变量x和y只给出它们的取值论域当然无法比较它们的大小。只有当x和y都是另一变量t的函数，而且值域相同是有序集合时才能讨论对某些t，x(t)和y(t)比较大小。任意给出两个变量x和y，就认为它们可以比较大小，当然是错误的。

季先生说我看不懂他的证明，这个理由很简单，错误的证明当然是看不通的。凡我认为是错误的我都明确指出。不要在这里空发议论，你认为没错可以具体说出你的理由来。

李先生在吹嘘他写的证明，他说【每一步都必须像十进制的1+1=2那样一清二楚，绝不可以有半点含糊，也不可以不加以证明而引入任何未必可靠的假设和猜想。我的文章都是这样写的。】其实我指出的错误都是逻辑含混，考虑不周的地方。不要空议论，具体说内容。

另外李先生把无穷的有些特性说成是矛盾。他抱怨我说【即使再明显的自相矛盾，他也会认为理所当然，似乎只要大喊“这不是矛盾”，矛盾就会消失了。】

他说【比如说，他一边说自然数集合加1的过程是永远不能完成的，一边又大言不惭地说如果加1的过程可以完成就怎么样怎么样。请问，既然不能完成，哪里会存在已经完成后才出现的东西呢？这不是再明显不过的自相矛盾吗？】

这说明李先生在概念上沒有分析清楚自然数集合的形成过程中的【半途终止】和整个无穷过程的【最后完成】的区别。这是两个不同的概念。不能半途终止，同可以最后完成当然并不存在任何矛盾。不能半途终止是说不能在没有完成以前就终止了，这种终止的结果是只生成了有限个有限集合。沒有生成无穷多个有限集，也没有生成这无穷个有限集的并集，即所有自然数的无穷集。但是整个无穷过程的最后完成却是另一个结果，那是生成了无穷多个有限集，而且这无穷多个有限集的并集生成了所有自然数的无穷集。不是半途终止而是整个无穷过程最后完成。这一点矛盾都沒有。

李先生又说【类似的例子还有很多，比方说旅馆既客满又不客滿不是矛盾，无限集合既与它自身的大小相同(这是对的)又与其真子集的大小相同(这是错的)也不是矛盾……】

这就是李先生的认知缺陷了，对有限旅馆【客滿】和【不客滿】是矛盾。但是对无限旅馆既【客满】又【不客满】一点矛盾都没有，这是无限旅馆的特性。

对有限集合，集合绝对不同它的真子集一一对应(元素数目相同)。但对无限集合，完全有可能集合同它的某真子集一一对应(元素数目相同)，这一点矛盾都没有，这是无限集合的特性。

李先生说【如果自相矛盾的东西都可以共存于一个理论内，那世界上还有什么歪理邪说是错的呢？】事实是理论中并没有【自相矛值的东西】，而是由于李先生认知的欠缺，把不是矛盾的无穷的特性错误地认为是【自相矛盾的东西】了，犯了【歪理邪说】的错误！

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】