Zmn-1032 薛问天 : 再谈微分是函数的属性，不是变量的属性。评《1031》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1031》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

再谈微分是函数的属性，不是变量的属性。

评《1031》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn1

学习微积分，认识微分是函数的属性，不是变量的属性。这是非常重要的一点，很多人都是在这方面出了问题，产生了错误。

1，要知道在微积分中，是对函数定义了两个微分。设有一函数y=f(x)，若知Δy=AΔx+0(Δx)。则把其中的AΔx记作dy，称为函数y=f(x)的因变量微分，把Δx记作dx，称为函数y=f(x)的自变量微分。后又定义其中的A是函数y=f(x)的导数A=f´(x)，从而有dy=f´(x)dx。因而函数的这两个微分，都是函数y=f(x)的属性。说它是函数的属性，是指函数相同则它的属性相同，函数不同则它的属性就不一定相同。

有人认为dx.dy是在变量x.y前加d，就错误地以为dx.dy是变量x.y的属性，以为变量相同微分就相同，这完全错了。

例如对于正反函数的情况，要把正反函数y=f(x)，和x=g(y)这两个函数放在一起来考虑。

根据微分的定义，对于这两个函数分别有:

(1)y=f(x)，dy=f´(x)dx，

(2)x=g(y)，dx=g´(y)dy，

这里有两点要特别注意。

①，在(1)中的dx是函数f的自变量微分。在(2)中的dx是函数g的因变量微分。虽然分别在(1)和(2)中都用dx表示，但是这是对两个不同函数分别定义的两个不同的微分。为了在把两个正反函数合起来讨论时不引起矛盾，在(1)中的dx（是函数f的自变量微分），就用dx1表示。在(2)中的dx（是函数g的因变量微分），就用dx2表示。而不再用dx表示。

②，在(1)中的dy是函数f的因变量微分。在(2)中的dy是函数g的自变量微分。虽然分别在(1)和(2)中都用dy表示，但是这是对两个不同函数分别定义的两个不同的微分。为了在把两个正反函数合起来讨论时不引起矛盾，在(1)中的dy（是函数f的因变量微分），就用dy1表示。在(2)中的dy（是函数g的自变量微分），就用dy2表示。而不再用dy表示。

也就是说微分是函数的属性不是变量的属性。在(1)的函数y=f(x)和(2)的函数x=g(t)虽然变量x相同，但函数不同，则相应的微分也不同，一个是dx1，一个是dx2。

在(1)的函数y=f(x)和(2)的函数x=g(y)虽然变量y相同，但函数不同，则相应的微分也不同，一个是dy1，一个是dy2。

实际上在正反函数中还要再考虑两个函数共四个函数。

(3)y=f(g(y))=h(y)，dy=h´(y)dy。由于f和g是正反函数，所以它们的复合数是y的恒等函数h(y)=y。而恒等数的导数等于1，h´(y)=1，所以微分式可写为dy=dy。为了不同前面(1)和(2)中的dy和本身的两个dy发生冲突，就把左端的dy，即恒等函数y=h(y)的因变量微分记为dy3，而把右端的dy，即恒等函数y=h(y)的自变量微分记为dy2。注意，由于函数x=g(y)和y=h(y)的自变量微分dy都等于Δy，所以用同样的符号dy2标记没有任何问题。于是微分式写为dy3=h´(y)dy2，即dy3=dy2。

(4)x=g(f(x))=I(x)，dx=I´(x)dx。由于f和g是正反函数，所以它们的复合数是x的恒等函数I(x)=x。而恒等数的导数等于1，I´(x)=1，所以微分式可写为dx=dx。为了不同前面(1)和(2)中的dx和本身的两个dx发生冲突，就把左端的dx，即恒等函数x=I(x)的因变量微分记为dx3，而把右端的dx，即恒等函数x=h(x)的自变量微分记为dx1。注意，由于函数y=f(x)和x=I(x)的自变量微分dx都等于Δx，所以用同样的符号dx1标记没有任何问题。于是微分式写为dx3=I´(y)dx1，即dx3=dx1。

要知道我前文说〖特别要注意微分是函数的微分而不是变量的微分．〗

后来又说〖微分不是单纯变量的微分，是函数的微分，分两种，一种是函数的因变量微分，一种是函数的自变量微分．〗

这次又说〖微分是函数的属性，不是变量的属性。〗〖说它是函数的属性，是指函数相同则属性相同，函数不同则属性就不一定相同。〗

这一切都没有错，都是对的，只不过是一次比一次更清楚，更容易理解而已。

师先生说【这说明他已经意识到自己的错误，所以就偷偷地改正了．】这种说法完全是莫须有的。你说说我的错误在哪里，怎么就【偷偷地改正了】，改正了什么错误。

而师先生现在所说的【微分不是单纯函数的微分，是变量的微分，分两种，一种是因变量微分，一种是自变量微分．】

同样是错误的。如果微分【是变量的微分，分两种，一种是因变量微分，一种是自变量微分．】请问在变量相同时，微分是否就应相同？我举的上例中，你把dy看作是变量y的微分，而且分为两种。为什么dy1和dy3这两个不同的微分都是不同函数的因变量微分。

要知道微分是函数的微分，每个函数都有两个微分。微分并不是变量的微分，认为微分【是变量的微分，分两种，一种是因变量微分，一种是自变量微分．】则是完全错误的，这个变量y的两个不同的微分dy1和dy3都是因变量微分，但是它是两个不同函数f和h的因变量微分。不同是在于它是不同函数的微分，它们的变量都是相同的。

2，我说的很清楚〖微积分理论中没有师教民先生所说的【微分的运算法则】〗，关键是〖师教民先生所说的〗这几个字的形容词。也就是说，是师教民先生所说的【微分的运算法则】是错误的，在微积分中没有。

师先生说【我说的【微分的运算法则】就是对函数等式两边求导或微分】。错！师教民先生所说的【微分的运算法则】不是【对函数等式两边求导或微分】，而是对变量等式两边求导或微分。

我说过如果是函数等式φ(x)=ψ(x)，当然两边求导可得导数相等φ´(x)=ψ´(x)。而且导函数所表示的微分比值，其中的微分是函数φ和ψ的微分，不能是其它函数的微分。

对于微分，由于函数的微分有两个，就不能随意乱写。两边求微分，必须说明是该函数的因变量微分还是自变量微分。即φ(x)的因变量微分同ψ(x)的因变量微分相同，同时φ(x)的自变量微分同ψ(x)的自变量微分相同，而不能含混。

我们来看看师先生并不是这样做的。我们知道，函数x=g(y)，如果变量x=x1=x2，完全可以把它写成x1=g(y)。如果把它看作是函数等式两边求微分。根据微分的定义所得出的dx=g′(y)dy。这个等于g′(y)dy的微分dx，只能是【编号为2的函数x=g(y)的因变量微分】。当你已经明确规定【dx2是x=g(y)的因变量的微分】后，就只能写成【dx2=g′(y)dy】。但是师先生却写成【dx1=g′(y)dy】。而且明确写明【dx1在概念上是y=f(x)的自变量的微分】。却说他证明了在数值上dx1=dx2。要知道这是错误的，【y=f(x)的自变量的微分】同【x=g(y)的因变量的微分】是不同的微分，数值上说它相等也没有任何根据。

师先生就是跟据x1=g(y)，把它看成是一个变量的等式，把左端x1看成是函数y=f(x)的自变量，对左端的微分就是函数y=f(x)的的自变量微分，而把右端看是函数x=g(y)的因变量，而右端的微分就是函数x=g(y)的因变量微分。而且认为左端的微分等于右端的微分。看清楚了吧，这就是〖师教民先生所说的【微分运算法则】〗的错误所在。

师先生不要再【睁着眼说瞎话】了，把眼晴睁大看看，你使用的【法则】错在那里。错就错在认为微分是变量的微分。在变量的等式两端乱求所谓变量的微分。正确的作法是认识到微分是函数的微分。结论只能是等式两端所表示的相同函数的两种微分分别相同，不可把不同函数的微分拿来在此混淆。

3，关于师先生用变量相等的等式x1=x2，根据他的【在等式两端 做微分运算】的法则，所得到的 dx1=dx2=dx。我上文已说得相当清楚，〖所证明的是恒等函数的两个微分相等，恒等函数的因变量微分dx1等于恒等函数的自变量微分dx2。这同师先生想证明的，y=f (x)和x=g (y)为正反函数时，函数(1)：y=f (x)的自变量微分dx1和函数(2)：x=′g (y)的因变量微分相等，则相距甚远，不是一回事。〗

我没想到师先生居然没㸔懂我的批评，看不出我指出的错误。说【薛问天先生至死不敢直接地、具体地说明我的上述证明的哪一行错误．】

错就错在你用变量的等式x1=x2，在等式两端做微分运算，对等式两端求导数，得dx1/dx2=1，dx1=dx2，证明的dx1=dx2，你知道其中的dx1和dx2是什么吗？要知道你是在对哪个函数在求导数，你是在对将x1看作因变量将x2看作自变量的恒等函数x1=x2求的导数。所以其中的dx1是恒等函数的因变量微分，dx2是恒等函数的自变量微分。

同时，你用变量的等式x2=x1，在等式两端做微分运算，对等式两端求导数，得dx2/dx1=1，dx2=dx1，证明的dx2=dx1，其中的dx2是恒等函数的因变量微分，dx1是恒等函数的自变量微分。所有这些dx1和dx2都不是你想证明的函数y=f(x)的自变量微分dx1和函数x=g(y)的因变量微分dx2相等。弄清楚了吗。错在你不了解微分是函数的微分不是变量的微分。只有函数相同微分才可能相同。变量相同，函数不同，分别用相同符号所表示的微分是不同的。

师先生，你一定要分清什么是正确的推理，什么是错误的推理。

如下是正确的推理。〖有函数等式y=f(x)，则dy/dx=f´(x)，其中dy是函数f的因变量微分，dx是函数f的自变量微分。〗

〖有代数函数等式y=x^4+x^3+x^2+x+1 ，

y´=dy/dx=4x^3+3x^2+2x+1．其中dy是此代数函数的因变量微分，dx是此代数函数的自变量微分。〗

〖有代数函数等式y=x，是系数为1常数为0的线性函数，即恒等函数。dy/dx=1，故dy=dx。其中dy是恒等数的因变量微分，dx是恒等函数自变量微分。〗

〖有代数函数等式x1=x2，即因变量是x1是自变量的函数，而且是恒等函数。dx1/dx2=1，故dx1=dx2。其中dx1是恒等数的因变量微分，dx2是恒等函数自变量微分。〗

以上的推理都是正确的。

我们为什么说师教民的推理是错误的呢？错就错在他用变量的等式x1=x2，x2=x1，在等式两端做微分运算，对等式两端求导数，得出的dx1=dx2和dx2=dx1，其中的dx1.dx2是恒等函数的因变量微分和恒等函数的自变量的微分。所证明的是恒等函数的因变量微分和恒等函数的自变量的微分相等。师先生的错误就在于他认为，变量x1是函数y=f(x)的自变量，x2是函数x=g (y)的因变量，所求的dx1就是函数y=f(x)的自变量微分，dx2就是函数x=g (y)的因变量微分。说什么【据正反函数y=f (x)(编号为1)和x=g (y)(编号为2)的定义知，该正反函数的变量x1与x2正是恒等函数，所以x1≡x2，所以自然得出dx1=dx2．】

我在开始时已讲过，对于恒等函数的微分式〖微分式可写为dx=dx。为了不同前面(1)和(2)中的dx和本身的两个dx发生冲突，就把左端的dx，即恒等函数x=I(x)的因变量微分记为dx3，而把右端的dx，即恒等函数x=h(x)的自变量微分记为dx1。......于是微分式写为dx3=I´(y)dx1，即dx3=dx1。〗即师先生用恒等函数所证明的，按照我们严格的符号表示，并不是dx2=dx1，而是dx3=dx1。这就是师先生的错误所在。

结论。

总之，师教民提出的两种方法来证明dx1=dx2，dx1=Δx同dx2≠Δx，认为微积分有矛值，都是错误的。

关键是要认清不同的微分要用不同的符号表示，如果用同一符号来表示不同的微分，结果把自己搞糊塗了误以为这不同的微分是相同的，就犯了错误。

如果你只讨论一个函数，不会出現这个问题。例如你讨论函数x=g(y)，如果只考虑这一个函数，你可以把函数x=g(y)的因变量微分写成dx，dx1，dx2，...怎么约定都可以。你可以写成dx=g´(y)dy，dx1=g´(y)dy，dx2=g´(y)dy，...无论你怎么约定都可以。

关键是在多个函数时，如除了x=g(y)以外，还有y=f(x)。一旦你己经约定了dx1表示的是函数y=f(x)的自变量微分时，你就不能再把x=g(y)的因变量微分写成dx1了，如果还要写成dx1=g′(y)dy，就犯了错误，师先生就犯了这样的错误，实际上证明不了dx1=dx2。

关于第二种方法也同样。一旦你已约定dx1是函数y=f(x)的自变量微分，dⅹ2是函数x=g(y)的因变量微分，在你讨论恒等函数的微分时就不能再用dx1来表示恒等函数的因变量微分和用dx2来表示恒等函数的自变量微分了。而必须换成没有矛盾的用dx3来表示恒等函数的因变量微分和用dx1来表示恒等函数的自变量微分。实际证明的是dx3=dx1。不加区分，造成混乱和矛盾，这就是师先生的错误。

师先生的错误说明他实际上证明不了dx1=dx2。他指出的微积分理论有【dx=Δx同dx≠Δx的矛盾】的质疑错了，矛盾并不存在。

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