Zmn-1046 薛问天 : 李鸿仪先生对康托尔对角线证明质疑的错误所在，评《1045》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1045》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

李鸿仪先生对康托尔对角线证明质疑的

错误所在，评《1045》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李先生对【双重标准】理解错了。他说【薛问天先生就有严重的双重标准。 比如他经常会提出各种批评意见，这个很正常。但是对于康托的东西，他从来不批判，哪怕别人已经明确指出康托的问题了，他还要为其辩护。】

这怎么能是【双重标准】呢？凡是错的就批评，凡是对的就维护，这不是【双重标准】。这是正常的以【对、错】为唯一的【单重标准】。别人在错误地质疑康托，指责错了，当然要批评，对康托尔的正确主张当然要维护。这是理所当然的事，怎么成了【双重标准】，简直可笑之极。

李先生的逻辑思维是有问题的，【正常的逻辑推导都是有秩序的，当我们还没有证明不可数集的存在时，我们不能预设存在着不可数集，】这当然是对的。但同时，我们还没有证明〖不可数集的不存在〗，我们也不能预设〖不存在着不可数集〗。李先生竟然连这个逻辑也不懂，竟然如此错误地说出【也就是说，这时我们只能认为所有的集合都是可数的，】

李先生竟然在逻辑上犯这么严重的错误还不知情。说什么【我的这句话本身有错吗？我为什么不能用自己的话来叙说问题，一定要背书才可以？】我可以明确告诉你，你这句话犯了严重的逻辑错误。没有证明〖不可数集的不存在〗，我们就不能预设〖不存在着不可数集〗。说【这时我们只能认为所有的集合都是可数的，】就是严重错误！

因而，李先生对康托尔反证法的假定的指责，说【所谓“假定集合可数”是有问题的：这样假设，其实就是认为可能存在不可数集合，】是完全错误的。没有证明存在不可数集合，也没有证明不存在不可数集合，当然在逻辑上就有两种可能，实数可数和实数不可数。为了证明实数不可数，用反证法假定实数可数，推出矛盾使定理得证有什么问题。说明李先生根本就不懂什么是反证法。

要知道李先生说【我作了修正，不再这样假定，而是说，“在并没有严格证明实数不可数之前，没有任何理由可以认为实数不能一一列出，因此，不妨将实数一一列出。”】这在逻辑上是完全错误的。因为【没有严格证明实数不可数】，并不等于已经证明【实数可数】。因而你没有任何理由认为【实数可以一一列出】。所以你说【因此，不防将实数一一列出。】是错误的。只有在【实数可数】的假定下，才能有【实数可以一一列出】。

当然你说的【这句话本身有错】，纯粹是你的逻辑思维有问题。这同书本知识以及你是中国人和外国人无关。有错的就要批评。不要把我们的学术讨论胡扯到书本知识和国际关系上来。

另外李先生说【这些其实还都不过是些非原则性的问题，不过是哪一种说法更好而已，】不对，这是逻辑的错误。

另外，李先生的关键错误是沒有认清这里的把实数排成序列是根据反证法【实数可数】的假定所推出的结论，并不是康托认为实数可排成序列。李先生认为这同康托证明的P(N)与N不等势有矛盾，说什么【说明什么？说明康托的理论充满了自相矛盾，】这完全是把不相干的事硬扯到一起。把反证法假定推出的结论，认为是康托的理论，这是完全的错误认识。

李先生错误的关键就是没有认清，把实数排成序列，这是由反证法【实数可数】的假定所推出的结论，并不是实数P(N)真的可以一一列出。因而他对康托尔证明的质疑完全是错误的。他所主张的【认为自然数集合不是唯一的，对角线证明也不成立。】以及说【对角线证明根本就是错得一塌糊涂。】全是错误的结论。

具体来分析。

李先生说【行数(小数个数)和列数(小数位数)精确相等时才存在对角线，所以对角线证明实际上是在假定行数和列数精确相等(简称为相等性假设)的基础上进行的。】

这是在故弄旋虚。因为行标和列标都是无穷集合，无穷集合就没有【元素数目】的概念。你怎么知道对角线证明必须在其【元素数目】严格相等的基础上才能进行。实际上只要行标和列标这两个集合是同一集合，对角线法就能正常进行。对角线证法所需要的正是，如果k∈行标，则k∈列标，而且如果k∈列标，则k∈行标。而这就是行标和列表是同一集合的必要充分条件。要知道行标和列表都是自然数集合当然是同一集合。这就说明对角线法可以正常进行。

李先生说【对角线论证的根本错误是在没有任何证明的情况下引入了相等性假设，这个假设完全独立于实数是否可数:即使实数可数，也只不过是可以将实数一一列出而已，有什么理由可以认为实数的个数与实数位数是精确相同的？难道世界上不存在长方形矩阵吗？】

反证法的假设是证明最后要将其推翻的假设，怎么李先生竟然对反证法的假设要求要给予证明，这不是乱弹琴吗？反证法的【实数可数】假设当然不需要任何证明。另外反证法的【实数可数】假设并不是【元素数目】的相等性假设，而是实数同自然数一一对应，从而【行标是自然数集合】。李先生说【这个假设完全独立于实数是否可数:即使实数可数，也只不过是可以将实数一一列出而已，】李先生这句话自已竟然能说出口，而不知其错误吗？难道李先生竟然不知道集合可数的定义就是同自然数集的一一对应，即一一列出？竟然不知道能一一列出就是行标是自然数集合？

李问【有什么理由可以认为实数的个数与实数位数是精确相同的？】

要知道对角线法根本不需要什么行标和列标集合的【元素数目】的严格相等的假设，只要根据行标和列标集合是一个集合，就可用对角线法推出矛盾来。反证法的假设推出实数排成序列的行标是自然数集，又已知列标是自然数集合。既然行标和列标都是自然数集合这一个集合，是同一个集合，根本就不需要什么行标和列标集合的【元素数目】的严格相等的假设，只要根据行标和列标集合是一个集合，就可用对角线法推出矛盾来。

李先生说【如果真要用反证法来证明实数不可数，那就只能有实数可数这一个假定，怎么可以再引入一个和可数与否完全无关的相等性假设呢？在有两个假定的情况下，如何判断是哪一个假定引起矛盾的？】

我们说李先生没有看懂康托尔的证明就在这里。证明并没有【再引入一个和可数与否完全无关的相等性假设】，引入这个假设是李先生的主观臆想。反证法的【实数可数】的这一假设就已推出实数序列的行标是自然数集合，同我们已知的列标是同一个集合，就可使对角线法正确进行，推出矛盾。

李先生说【康托要推翻的是可数假定，但是他实际推翻的是相等性假设：b的存在证明且只证明了相等性假设不成立，与可数与否完全无关。】

李先生错就错在这里，因为根本就没有什么【相等性假设】，所以在只有一个假定的情况下，b的存在所产生的矛盾，自然推翻的就是反证法的【实数可数】的这一个假定。

李先生说【康托人为假定小数个数和小数位数严格相等，导致矛盾后，说他证明了实数不可数。】这段话充分说明李先生根本没有看懂康托尔的证明。康托尔根本就没有【人为假定小数个数和小数位数严格相等】，而是由反证法的【实数可数】的假定推出所有实数同自然数一一对应，能排成序列。实数行标是自然数集合，同列标自然数集合是同一集合。才用对角线法构造出不在序列中的实数b，产生了矛盾，推翻了【实数可数】的假定，使定理得证。

我一直想不明白，【这么明显的问题】，如果大脑中没有问题，【应该是不可能差到一直听不懂的】！

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