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[转载]Zmn-0058-1 薛问夭；再评师教民先生提出的三个问题（1）

已有 1752 次阅读 2019-9-27 11:18 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流|关键词:学者

Zmn-0058-1 薛问夭；再评师教民先生提出的三个问题（1）。

【编者按。下面是薛问天先生对Zmn-0057的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

再评师教民先生提出的三个问题（1）

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

引言。

师先生的文章(0057)共有四奌。

第1点的1)，说的是他的建议并【不是薛问天先生说的『师教民先生建议先讨论「薛问天先生未敢评论的 3 个问题」，然后再讨论前文中讨论的七个问题』】，而是【我是建议〖等薛问天先生把我上述列举的3个问题以及薛问天先生未敢评论、无力反驳的所有相当多的问题评论完后〗，再去讨论『前文中讨论的七个问题』．】。也就是说，把对七个问题的讨论还要推后，推后到不仅这3个问题讨论完，而且要推后到【薛问天先生未敢评论、无力反驳的所有相当多的问题评论完后。】为什么师教民先生执意要把正在讨论的七个问题的评论一而再地拖后。恐怕是有大家都懂，「路人皆知」的「原因」吧。这七个问题的错误太明显了。

没有关系，怎么都行。你认为哪些是我【无力反驳】的问题。尽量都提出来，我们可以逐一评论。我想信没有我【未敢评论】的问题。

第1点2)，说的是同问题I有关的问题。即业界公认的第一代微积分中的贝克莱饽论倒底指的是什么？关于这点我们在本文当专门评论。

第2点，说我在0050一文中所说的都是一些旧观点，【这些旧观点早已经被我以前的论文全部驳倒了。】

关于这点我们将专门分析，专门针对师教民先生0048中的两段同问题I有关的段落加以评论，其它同问题II和III有关论述将在随后的另文中评论。

第3点，说了3个例子，这才分别是相应的要讨论的三个问题。为了集中精力。本文只讨论问题I: 第二代微积分的求导过程有无矛盾。另外的两个问题，待另文评论。

笫4点，乱扣了五顶帽子，与我们讨论的三个学术问题无关，而且我相信，是非自有公论，让读者去评判吧，我就不化费时间和精力去评论了。

本文集中讨论：问题(Ⅰ)。关于第二代微积分求导过程是否有矛盾的问题。

(1) 业界公认的第一代微积分中的贝克莱悖论倒底指的是什么？为什么在第一代微积分求导过程中，笫一步Δx≠0同第二步Δx=0会发生矛盾?一定要把这里的原因搞清楚。因为「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」有些人不承认上述论断A ，认为只要各步的Δx是同一个变量取不同的值，第一步有Δx≠0，第二步Δx=0，就产生矛盾。这样的认识显然是错误的。而且把他的这样的错误的对贝克莱悖论的认识，强加给数学界，认为这就是业界的共识。错了。错误的认识代表不了业界的共识。

我们可以举大量的例证来说明「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」

①，例如我们来讨论数学归纳法，为了证明对所有的自然数ⅹ，性质P(x)都成立，只需要两步。

第一步证明此性质对x=1时成立，即证明P(1)为真，

第二步假定x=n时成立，证明x=n+1时成立。

显然在此过程中，第一步有x=1，第二步有x＞1。而这里并不发生矛盾。你能说数学归纳法有 x=1同x＞1的矛盾吗？

②，再例如，证明方程x⁴=4^x有两个解。第一步令ⅹ=2，由于2⁴=4²，所以2是方程的一个解。第二步令x=4，显然4⁴=4⁴，4也是方程的一个解。你能说此证明有x=2同x=4的矛盾吗?

③，例3。用连续函数求极限的方法。为了求当x→a时函数G(x)的极限。第一步，找到一个连续函数F(x)，使得在x≠a的条件下G(x)=F(x)。第二步求出F(x)在x=a点的函数值，F(a)就是函数G(x)当x→a时的极限值。显然第一步x≠a，笫二步x=a，你能说这里有x≠a同x=a的矛侑吗?肯定没有矛盾。这是可以严格证明的一种求极限的方法。由于在x≠a的条件下G(x)=F(x)。再由于极限同x=a点的函数值无关，因而，lim_[x→a]G(x)= lim_[x→a]F(x)。进一步根据连续函数的性质知 lim_[x→a]F(x)=F(a)，所以有lim_[x→a]G(x)=F(a)。

从这些例子就可验证「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」

(2) 那么，在第一代微积分求导过程中，Δx≠0同Δx=0为什么会产生矛盾呢?关键在于导数的定义。第一代微积分中，把导数定义为增量比函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx=0点的函数值。但是所求的是F(Δx)在Δx=0点的函数值F(0)，而不是G(0)。要知道F(Δx)并不是G(Δx)，这两个函数只有在Δx≠0的条件下才相等。在Δx=0的点，两个函数並不相等。也就是说第一步的Δx≠0同第二步的Δx=0导致了导数定义的混乱，导致了导数概念的不能自园其说，破坏了概念的同一性，这才产生了冲突，产生了矛盾。即「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」「而只有在推理和演算过程中，由于变量取不同值引起了冲突，导致概念的定义混乱，破坏了概念的同一性时，才会产生矛盾。(论断B)」换句话说「如果变量取不同值，並不引起冲突，并未导致概念定义的混乱,並未破坏概念的同一性，则不会产生矛盾。(论断C)」

正是基于论断A,B和C，才对笫一代微积分中求导过程中Δx≠0同Δx=0会产生矛盾的原因作了解释。师先生只知其一不知其二，误以为有Δx≠0同Δx=0就会产生矛盾，不知为什么产生矛盾的原由。师先生一直是这么误解的，所以听了我的解释后，觉得很新鲜，竟然认为是我的【观点改变了】，是我【编造的新观点】。其实这只是对相应观点的理由所做的解释，既无改变也不是新观点。它就是数学界的普遍共识。只是师先生没有认识到这些理由而已。否则你怎么解读「论断A,B和C」。顺便问一句，师先生是否真正认识到「论断A,B和C」的正确性?为什么总是不敢正面回答。如果还没有认识到，还需补点课再来讨论。

(3) 师先生列举了我在0037-2.五.8)和0050的有关两段话，在第一段引文中，我说的Δx≠0同Δx=0会产生矛盾是有前提的，那就是在开始所说的〖把导数定义为增量比函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx=0点的函数值。〗并不是说只要Δx是函数G(Δx)和函数F(Δx)中的变量，在第一步有Δx≠0在第二步有Δx=0，就一定产生矛盾。

第二段引文正是在解释 Δx≠0同Δx=0会产生矛盾的原因，在于它引起了导数定义的混乱，这只是对第一段引文的解释，并不是观点的改变和更新。在第二段引文说得很清楚，〖这里之所以有 Δx≠0和Δx=0的矛盾，是因为导数的定义含混不清，既然导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值，而第二步求的是F(Δx)而不是G(Δx) 在Δx=0点的函数值。而F(Δx)是推导出来的在Δx≠0的各点与G (Δx)相等的函数。这才产生了第一步和第二步中 Δx≠0和Δx=0导致的矛盾。〗

师先生却歪曲我的观点，说什么按照我的观点【如果第一代微积分在第二步中令的Δx=0里的Δx是函数F(Δx)=2x+Δx (Δx可等于0)里的Δx，那么，第一代微积分定义的导数就不发生Δx≠0和Δx=0的】『冲突，并不引起任何矛盾．这样的定义没有问题，完全正确．』

我没有这样的观点。第二步中令的Δx=0里的Δx当然是函数F(Δx)=2x+Δx (Δx可等于0)里的Δx。而产生矛看的原因，是由于第一代微积分中的导数定义，既然导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值，而第二步求的是F(Δx)而不是G(Δx) 在Δx=0点的函数值。而F(x)是推导出来的与G (Δx) 在Δx≠0的各点相等的函数。这就是第一步和第二步中的Δx≠0和Δx=0引起的导数的概念的混乱而产生的矛盾。怎么能说【第一代微积分定义的导数就不发生Δx≠0和Δx=0的】冲突和矛盾了呢？只要把导数定义为增量比函数在Δx=0点函数值，Δx≠0同Δx=0就会导致概念的混乱产生矛盾。

请注意我在0050中是这么说的: 〖把导数 (初等)直接定义为在Δx≠0下同增量比函数G(Δx)相等的初等函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。由于这个定义清晰明确，这里就不存在任何矛盾。因为这里第一步的在Δx≠0下求同G(Δx)相等的初等函数F(Δx)，和第二步的求出F(Δx)在Δx=0点的函数值，这些都完全符合定义中要求和规定，并不发生冲突，并不引起任何矛盾。这样的定义没有问题，完全正确。只是在第一代微积分的时代，还没有引入极限概念，不知道为什么要这样定义导数。〗

可见关键是导数的定义。如果Δx≠0同Δx=0导致相应定义出现混乱，那么才会产生矛盾。如果Δx≠0同Δx=0没有导致定义的混乱，没有破坏概念的同一性，就不产生矛盾。

在这里我把所定义的导数称为〖导数（初等）〗，以示区别。这只是个我给起的名称，不存在师先生所说的【常数没有初等之说】的问题。

(4) 师先生说我【把他自己编造的观点强加给了数学界】。其实正是师教民先生本人把他自己错误的理解解强加给了数学界。

他说数学界认为【不论函数H(Δx)=2x+Δx在其自变量Δx=0处有无定义，第一代微积分在第二步中令的Δx=0都和第一步中的函数G(Δx)=2x+Δx (Δx≠0)里的Δx≠0发生了矛盾】或者【不论第二步中令的Δx=0里的Δx是函数G(Δx)=2x+Δx (Δx≠0)里的Δx还是函数F(Δx)=2x+Δx (Δx可等于0)里的Δx，第二步中令的Δx=0都和第一步中的G(Δx)=2x+Δx(Δx≠0)里的Δx≠0发生了矛盾】。

并不是数学界的共识，而只是师先生自己的错误理解。离开对第一代微积分中导数定义造成的混乱，是解释不清Δx≠0同Δx=0所导致的矛盾的。

首先要指出，师先生把第一步中的函数G(Δx)=2x+Δx (Δx≠0)，括号中的Δx≠0误认为是对函数 2x+Δx的定义域的约束。这种理解是错误的。函数F(Δx)= 2x+Δx的定义域始终是包含Δx=0的。笫一步括号中的 Δx≠0是指在 Δx≠0的条件下 G(Δx)= F(Δx)。並没有说函数F(Δx)的定义域不包含 Δx=0。无论是在第一步还是第二步，函数2x+Δx在Δx=0点自然有定义。

Δx当然既是函数G(Δx)又是F(Δx)中的自变量Δx。离开导数的定义，第二步中令的Δx=0和第一步中的在Δx≠0的条件下证明函数G(Δx)=2x+Δx里的条件Δx≠0并不发生矛盾。它只是变量在不同情况下取的不同值。第二步令Δx=0，只是为了求F(0)=2x，第一步的Δx≠0 只是说明在Δx≠0的各点，G(Δx)=F(x)。这里有什么矛盾，一点矛盾也没有。而只是由于在第一代微积分中，把导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值G(0)，而实际求的是F(0)，而F(Δx)是在Δx≠0的各点同G(Δx)相等的函数。F(0)不是G(0)。也就是说，只有证明在Δx=0时有G(Δx)=F(Δx)，才有G(0)=F(0)。可惜等式是在Δx≠0下证明的，这才是 Δx≠0同Δx=0所导致的矛盾。

师先生不了解这其中的原因，以为变量在过程中取不同值就会产生矛盾的观点是错误的，它不能代表数学界的共识。

(5) 第一代微积分，尽管没给出导数的明确定义。但是所给出的求导方法与结果却经过了实践的验证，说明是有效的、正确的。这正是牛顿，莱布尼兹等和第一代微积分对数学的伟大贡献。不了解这点，就等于不了解数学和微积分的发展史。

人们通过实践形成了导数这个概念和求导方法。但是当时没有极限这个概念，不了解导数是增量比函数的极限这个事实，错误地、含混地认为导教是增量比在Δx=0点的函数值。可是实际求出的却是在Δx≠0的各点同增量比函数相等的另一个连续函数在Δx=0点的函数值。虽然当时解释不清，但是用现在的眼光来审视，这样的求导方法和结果仍然是正确的。

师先生反对我的这句话：『我们批评第一代微积分，主要是批评它的概念不清，以及解释不清引起的重重矛盾，而不是否认它的求导方法和结果．』实际上是不了解微积分学的发展史。

师先生所说的几个反对的理由，是不了解第一代微积分错就错在「把导数定义为增量比函数在Δx=0点函数值」上。

我们用现代微积分的观点来看导数的另一个等价的定义。设G(Δx)=Δy/Δx是函数f(x)在x0点的增量比函数。

【定义】如果存在连续函数F(Δx)，使得对于Δx≠0的所有点，有G(Δx)=F(Δx)，则称函数f(x)在x0点可导，并且导数dy/dx=F(Δx)|_Δx=0，即F(0)。

可证此定义同第二代微积分中的导数定义等价。按照这个定义求导过程分两步。第一步求出连续函数F(Δx)，并证明在Δx≠0时， G(Δx)=F(Δx)。

第二步。求 F(Δx)在Δx=0点的函数值F(0)。

显然第一步证明时要求Δx≠0，第二步在求F(0)时要求Δx=0。你能说这里有矛盾吗?一点矛盾都没有！步骡完全符合定义的要求。没有引起导数定义的混乱和对概念同一性的破坏，所以说这里不存在任何矛看。

是的，其实不用师先生论证。根据上述导数的等价定义，师先生所说的【第二代微积分定义并求导数的两步与第一代微积分定义并求导数的两步都完全相同。】除了定义不同以及第一代微积分未说明2x+Δx是连续函数以外，求导数的两步求法是完全相同的。步骤和方法以及结果都一样，都是求函数 F(Δx)=2x+Δx在Δx=0点的函数值，结果都一样导数都等于2x。正是因为在第一代微积分中「把导数定义为增量比在Δx=0点函数值」，才出现了矛盾。而前面给出的同第二代微积分的导数定义等价的定义中，「把导数定义为在Δx≠0的条件与增量比函数相等的连续函数在Δx=0点的函数值」，则不发生冲突，不产生矛盾。

(6) 师文中3例1对第一代微积分求导过程描述中的错误。

①没有列出导数的定义，「把导数定义为增量比函数在Δx=0点函数值」。这是存在矛盾的关键。

②师文说 [无定义是G(dx)=2x+dx(dx≠0)，有定义是F(dx)=2x+dx(dx可等于0)]。师先生在这里把在dx≠0的条件下推导出 G(dx)=2x+dx，就以为是函数 2x+dx在dx=0点没有定义，这是不对的。函数 2x+dx在dx=0点是有定义的。只不过不一定等于G(0)而己。

不能认为在dx≠0的条件下推导出两个函数相等，就推论说函数在dx=0点没有定义。例如我们说在x≥0的条件下可证明|x|=x，不能说函数 |x|和x在x＜0时无定义。

③师先生说在第一代微积分的导数定义中【把y=x² 的导数定义为H(dx)=2x+dx在dx=0时的值】。这种说法不对。在求导数的方法中是规定这么求的，但是在第一代微积分中导数并不是如此定义的，而是「把导数定义为增量比函数在Δx=0点函数值」。这正是产生矛盾的原因。

(7) 评师文0048对我 Zmn-0037-2，评师教民先生的七答(中)，五，8)，的有关问题回复。

师先生对我提出的「以为在等式中，似乎只要发现变量取值不相同，就一定产生矛盾．其实，事实并不如此．上述之所以产生矛盾是由于变量取不同值影响了等式的推导，Δx=0使第一步的等式不成立，才产生了矛盾．在有些情况下，如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。」没有看懂，没有理解。我所批评的正是有些人以为在推理过程中「只要发现变量取值不相同，就一定产生矛盾．其实，事实并不如此。」

师先生就是持这种观点。认为【这个矛盾即Δx≠0（第一步）和Δx=0（第二步）的矛盾】。我要论证的正是 Δx≠0（第一步）和Δx=0（第二步），並不必然产生矛盾。

师先生说【如果薛问天先生总是编造些与这个矛盾即Δx≠0（第一步）和Δx=0（第二步）的矛盾无关的东西，如恒等式(A)，(B)，或只是喊几句口号来应对我，那么薛问天先生与我的讨论就没完没了了．】

师先生没有看懂我所举的例证(A)和(B)正是论证「在有些情况下，如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。」的理由，怎么能说这是与论题无关，和不讲理由的【只是喊几句口号来应对我】呢?

关于这奌我在本文(2)中又专门论证了:

「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」「而只有在推理和演算过程中，由于变量取不同值引起了冲突，导致概念的定义混乱，破坏了概念的同一性时，才会产生矛盾。(论断B)」换句话说「如果变量取不同值，並不引起冲突，并未导致概念定义的混乱,並未破坏概念的同一性，则不会产生矛盾。(论断C)」

至于师先生认为【第二代微积分和第一代微积分一样存在贝克莱悖论，即Δx≠0和Δx=0的矛盾．】错误的根本原因就是他对上述的论断A、B和C没有正确认识。如果认识到这些论断的正确性，就立刻会发现他的上述论点的错误。这就是我对师先生论点的评论。怎么能说【薛问天先生一直都未敢评论、无力反驳】呢?

(8) 评师文0048中对我 Zmn-0037-3 评师教民先生的七答(下)。七，3)有关论点的回复。

①师先生引述了我关于第一代微积分中求导过程的描述后说【薛问天先生上述这段话，我已经在本文的Ⅴ中(x)里(注: 即在上述(7)中所指的师先生在0048中对我0037-2中的五.8)的回复) 将其驳倒，重点是证明了薛问天先生说的『第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立』．希望薛问天先生积极评论，认真反驳，争取驳倒；不能只喊口号．】

也就是说师先生认为Δx≠0同Δx=0的矛盾在于『第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立』。但是他不了解我们说的这句话是有前提的，那就是在第一代微积分中，把导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值G(0)，而实际在求导的过程中，在第二步求的是F(0)，而不是G(0)。错误的原因在于，在第一步证明的是在Δx≠0的各点 F(Δx)同G(Δx)相等，而不是在Δx=0的点两函数相等。也就是说，要使第二步求出的F(0)符合导数的定义等于G(0)，只有证明在Δx=0时有G(Δx)=F(Δx)，才有G(0)=F(0)。可惜这个Δx=0的要求，使笫一步证明的等式(在x=0点)不成立(等式只在Δx≠0的点成立)，这才是 Δx≠0同Δx=0所导致的矛盾。所以说是在「第一代微积分中，把导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值G(0)」的前提下才产生的『第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立』的矛盾。没有这个前提，这个矛盾是不存的。例如第二代微积分，用那个等价的导数定义，导数就定义为F(0)，所要求的就是在Δx≠0的点F(Δx)=G(Δx) ，完全符合定义要求，不存在『第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立』的矛盾。

② 师先生说【薛问天先生评论的原话是：『分析师先生的错误在于上式不单纯用的是极限概念，还用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质.』请问薛问天先生，你的这段评论的原话到底错不错？让我怎样理解才能理解的不错误？】

实际上我当时就己经解释清楚了，错在用了此性质还坚持认为这里有矛盾。

【在推论中用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质．当然没有错误．错在既然己经证明了「极限值等于函数值」，证明了等式成立，就应该承认这里没有矛盾，可师先生还错误地坚持认为这里有矛盾．】

也就是说，如果该函数不是连续函数，一般函数的极限值不等于函数值，说其相等自然是错的(有矛盾的)，但是师先生用到了连续函数的性质，证明了等式成立，还坚持这里有矛盾，这就是我要说的师先生所犯错误之所在。
师先生心里明白我指出的错误是什么，在这里明知故问，把水搅混。而逃避正面回答问题，师先生应该回答的问题是「既然证明了等式成立，就应该承认这里没有矛盾，为什么还错误地坚持认为这里有矛盾．」

③ 接下来师先生回复了我对他的错误观点【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0．】的评论，这虽然同问题I 关系不大，不过写到这里。我也简单评论一下。这里涉及等式:

lim_[Δx→0](Δy/Δx)=lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0

A) 师先生说【既然『2x+Δx是Δx的连续函数』，那么『第二项在Δx≠0的条件』和『证明了Δx≠0的第二项』中的Δx≠0就应改成Δx可等于0，不然就把定义域中的Δx和极限过程中的Δx混淆了！】

显然师先生在这里己经把函数的定义域同求极限过程中的Δx混淆了。我们说第一项等于第二项，是由干在Δx≠0的条件下(Δy/Δx)=2x+Δx，和极限同Δx=0的函数值无关。也就是说，证明函数在Δx≠0下相等，以及求极限的过程Δx→0中要求Δx≠0，这并不要求第二项中的函数 2x+Δx的定义域有什么改变，它当然是【 Δx可等于0】。

而第二项等干第三项，是根据连续函数的性质。第二项求极限要求Δx≠0，而第三项求函数值则耍求Δx=0，这里没有任何矛盾。第二项和第三项中的函数 2x+Δx是同一个函数，它在Δx=0和Δx≠0的点都有定义。

B) 师文说【我说的 lim_[dx→0](dx)=(dx)|_dx=0是据“极限值等于函数值”的定理得来的，薛先生编造的 lim_[dx→0](dx)=(1-dx)|_dx=1是据什么“理”来的？】

这很简单，由于 lim_[dx→0](dx)=0，而也有 (1-dx)|_(dx=1)=0，根据0=0，所以有 lim_[dx→0](dx)=(1-dx)|_dx=1。难道你也能据此等式说求极限过程中dx必须
变到dx=1吗?

C) 至于 lim_[dx→0](dx)=0，在求极限中，是dx无限接近(趋近)于0而不等于0。是由极限的概念的定义所决定的。这还用解释理由吗?

函数的极限值是x无限接近a时的那个函数无限接近的值，函数值是x=a点的值。显然是有明显区别的。一般情况两者并不相等。。只是在连续函数两者才相等。因而师先生的观点【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0．】是错误的。

结论

问题(Ⅰ)。关于第二代微积分求导过程是否有矛盾的问题。

答案是第一代微积分求导过程有矛盾，而第二代微积分求导过程没有矛盾。

原因是「在第一代微积分中，把导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值G(0)。」而第二代微积分导数的等价定义是「把导数定义为在Δx≠0的条件与增量比函数G(Δx)相等的连续函数F(Δx)在Δx=0点的函数值」

论证的核心是正确认识下述三个论断:

「并不是在任何推理和演算过程中，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」

「而只有在推理和演算过程中，由于变量取不同值引起了冲突，导致概念的定义混乱，破坏了概念的同一性时，才会产生矛盾。(论断B)」