1. 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣.

2. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题. 如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了.  

3. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献.      

平均场理论一般为

$O_iO_i \simeq \langle O_i\rangle O_j + O_i \langle O_j\rangle - \langle O_i\rangle \langle O_j\rangle$.

回答下面的几个问题

1. 证明上面的关系，解释它没有考虑涨落效应。

2. 利用这个方法做一些简单的积分，比如 $\int_0^{\pi} \sin(x)\cos(x) dx$,  $\int_0^{\pi} \sin(x)\cos(2x) dx$,   $\int_0^{\pi} \sin(x)\exp(-x) dx$，比较严格结果和数值结果的差别。在很多情况下我们需要处理一些很复杂的积分，比如电子-声子相互作用等等，这些积分没有办法求解，用这种方法可以得到一个比较简单而且近似的结果。通过这个方法也可以对平均场有一个基本的了解。

3. 解释在什么情况下平均场的误差很小，在什么情况下它误差很大。

4. 利用这个方法，可以把涨落考虑进去，也可以计算能级的激发谱等等。

提示:  $xy = (dx + \langle x \rangle )(dy + \langle y\rangle)$.