Zmn-1064 薛问天 : 正确理解数理逻辑中的全称量词。评李鸿仪先生的《1060》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1060》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确理解数理逻辑中的全称量词。

评李鸿仪先生的《1060》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，李鸿仪先生公开批评数理逻辑中的全称量词，说【在数理逻辑中，通常把∀x,p(x) 解释为：对任何（或所有）x，命题p(x)成立。这是不严谨的。】

过去，他也曾说过类似的话，我也曾做过解释。即【任何】和【所有】这两个词在通常的语义和语用上来讲，当然有相同的也有不同的地方。例如我们说【任何甲班的同学都是男生】，你也可以说【所有甲班的同学部是男生】。在这里【任何】和【所有】是完全相同的。但是当你说【所有甲班的同学共30名】，你能说【任何甲班的同学共30各】吗？当然不行，在这里【任何】和【所有】就完全不同了。也就是说，当【所有】指的是所有的个体时，同【任何】相同，但是当【所有】指的是全体和整体时，同【任何】就不相同了。

但是，在数理逻辑中，对全称量词，把∀x,p(x) 解释为：对任何x，或对所有x，谓词p(x)成立。这却是非常严谨的。为什么是严谨的呢？因为全称量词所指的是后面谓词P(x)的成立与否。谓词P(x)是这样定义的，有一个集合X，变量x∈Ⅹ可以在X中取值，对每个x∈X，谓词P(x)都有真假值。这里的x指的是集合X中的元素。对于集合Ⅹ这个整体，谓词P(X)并无定义。因而全称量词，∀x,p(x) 的意思就是：对集合Ⅹ中的任何x，所有x，谓词p(x)为真，都成立。也就是说在这里，在数理逻辑中对全称量词，把∀x,p(x) 解释为：对任何x，或对所有x，谓词p(x)成立。这个含义星非常严谨的，集合X中的任何x，所有x，全体x，每个x，任意x，使P(x)为真，确切地都是一个意思。因为在其中的所有x和全体x，是指集合中的个体，每个元素x，任何元素x使P(x)为真，不是指集合X这个整体，因为谓词谈的是元素，并没有对集合X的整体，谈P(X)的真假的问题。所以在数学上没有任何歧意。

例如数学归纳法，如果P(0)，而且对饪何n都有P(n)→P(n+1)，则∀xP(x)。其结论中的全称量词∀xP(x)的含义就是指，自然数集合N中的任何自然数x，全体的自然数x，使P(x)为真，而不是对集合N，认为使P(N)为真。在这里任何x和所有x是一样的，没有区别。

二，李先生把全称量词分成两种，用∀xP(x)表示对所有x，使P(x)为真，把∀称为全称量词。用∀*xP(x)表示对任意x，使P(x)为真，把∀*称为准全称量词。

这显然是错的，因为他想把两者分开，实际上是讲不清楚分不开的。例如他举的几个例子。他说【例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。】

实际上如果说【班里任何的人只要足够努力都能得到第一名】，那么就应该说【班里所有的人只要足够努力都可以得到第一名】因为你说的【可以得到第一名】，指的是个体人可能性，所有的人都有可能，这才公平。不是现实性。现实只有一个人得到第一名，说任何人也不对。所以这个例子是不对的。

另一个把苹果放到篮子里的例子也不对。我们说園子里的所有苹果都可以放在篮子里，当然是指的个体苹果，而不是苹果整体。篮子有空余地方，所有的苹果，无论是哪个树上的，只要是苹果，都可以放到没装满的篮子里。如果篮子有限，不够放，那么说圈子里任何苹果都可以放在篮子里也不对，篮子装满了，任何苹果也放不进去。所以任何苹果同所有的苹果，如果指的是个体，都是一样的。都能放在有空余的篮子里，但放不到已装满的篮子里。

如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，不能推出所有苹果都能放进篮子。但是李先生确认为【任何一个苹果都可以放进容量有限的篮子里】，这显然也是错误的。因为、篮子的容量是最多放k个苹果，超过k个苹果，任何一个苹果都放不进篮子里去了！

因此，严格来说，把全称量词分成“准全称量词”和“全称量词”，是完全错误的。因为谓词P(x)说的是集合Ⅹ的个体元素x，不涉及集合Ⅹ的整体本身，没有P(Ⅹ)的定义。所以【所有x】和【任何x】的含义，在这里是完全相同的，不可能分出它们的区别。

三，关于李先生多次说到的【花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球，球用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？】

这涉及到无穷操作的禁忌。即在数学中只允许有穷次的操作。一般来讲，不允许无穷次操作，受到禁忌。只有在严格明确的定义下，定义了无穷操作的结果后，才允许进行有定义的无穷操作。

李先生说什么【小学生也很容易回答这个问题】，这纯粹是在摆龙门阵，不是在讨论数学。对无穷次操作的结果必须要有明确的定义。才能正确地回答。关键是你怎么定义这无穷次操作后的结果。

我们来谈谈这个问题。每一次操作和有穷次操作后的结果，已经定义清楚，关键是如何定义无穷次操作后的结果。

问题中【无穷次后，花瓶里有多少个球呢？】

当然，有一种定义是【无穷次后，花瓶里有多少个球】，定义为【无穷次后，在花瓶里有的球，的数量。】

当然首先要定义什么是【无穷次后，在花瓶中有的球】，然后再计算这种球的数量。

对此我们可以这样定义【无穷次后，在花瓶中有的球，是指存在有一次操作，在此操作后球一直在瓶中。】

也许有人会说【在此操作后一直在瓶中】的要求太严格。可以放松要求改为这样定义【无穷次后，在花瓶中有的球，是指对任何E，存在有n＞E，在第n次操作完成时，此球在瓶中。】

也许有人还不同意这种定义。但是我想无论你怎样定义，【如果对某球。存在一次操作，在此操咋完成后，此球永不在瓶中。这样的球不会说它是，无穷次后在花瓶中有的球。】

可证任何标号为n的球，在第n次操作完成后，就永不在瓶中，显然这样的球不是无穷次后瓶中有的球。由于所有的球都有标号，因而所有的球都不是【无穷次后瓶中有的球】，数量为0。所以在此定义下【无穷次后瓶中有的球，数量为0。】

当然还可以有另外的定义和结论。我们把第n次操作完成时瓶中的球的数量记作an，显然对无穷次操作，就形成一个无穷序列。我们可以这样来定义【无穷次后，在花瓶里有的球的数量，等于所有有穷次操作完成时，瓶中的球数序列的极限。】由于此序列an=9n，所以它的极限是无穷大。因而在此定义下结论不是0而是无穷大。

也就是说无穷操作的结果，是由定义来决定的。不同的定义有不同的结果。

李先生认为第一种定义有错，说是混淆了【任意】和【所有】的结果，说什么【既然任意一个球都能拿出，那么所有球就都能拿出。】这种分析完全是错误的。用这种无穷操作的例子来反对全称量词的解释，显然是站不住脚的。

四，关于对角线证法。

李先生对康托尔对角线证法的陈述，在(4)以前基本上正确，有些需要说得更准确。

如开始【对角线论证：根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，】

准确点应这样说〖对角线论证：根据反证法实数可数的假定，将全体无穷小数一一列出，为a1,a2,a3…….〗

另外后面的【等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。】

因为在没有搞清无限集合元素个数的定义前，不能讲个数位数，所以应改为〖等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行标集合和列标集合都是自然数集合。〗

最重要的是这句，【容易证明，对任意k，总存在bk≠akk，使得b=b1b2….bk时，ak≠b，即 ∀*k，ak≠b    (4)    】 其中【b=b1b2….bk，】是严重错误，根据(2)，b是无穷小数怎么能写成有穷小数呢。另外∀k不应写成∀*k，所以应改为〖容易证明，对任意k ，在无穷小数b中的位中，总存在bk≠akk，使得 ak≠b，即  ∀k，ak≠b     (4) 〗

既然对任意k，都有ak≠b。那自然推出b不在(1)中。这根本不需要什么进一步的证明，对于全称量词，【任意x】同【所有x】是一样的。既然证明了对任意k，都有ak≠b。自然也就证明了对所有的k，都有ak≠b。故已严格证明了b不在(1)中。

当然李先生的错误还表现在他所述的如下几段话中。

他说【对角线元素永远只存在于正方形无限矩阵中。】这是有限矩阵的理论，根本不适用于无限矩阵。

他说【由于小数的个数比小数位数多得多，所以有很多种方法可以证明(1)是一个长方形无限矩阵，】由于无限矩阵的行标和列标都是无限的自然数集合，在未搞清元素个数的数学定义前，这些讨论纯系空该。

其实李先生最大的错误在于对(1)的认识。要知道(1)是由反证法实数可数的假定实数同自然数的一一对应，推出的由无穷小数构成的无限矩阵。而李把(1)看成是由所有的k位有穷位小数形成的有限长方形，当k=1,2,3,...时构成的长方形无穷序列。也就是说，李把由无限小数枸成的无限矩阵(1)，看成是有限小数构成的有限长方形的无穷序列，这本身就是李先生的严重错误。而且还由这个序列中的行列数比的极限是高阶无穷大，就认为(1)这个无限矩阵是无限长方形，则更是错上加错的乱弹琴。

更可笑地是把它自己枸造的k位有限小数b，在k位长方形中出现的事实，拿来反对说证明中构造的无限小数b也在(1)中出现。这根本对不上号，你构造的b是有限小数，根本就不是证明中构造的无限小数b，见(2)。而你构造的长方形序列根本就不是无限矩阵(1)，怎么能得出这样的结论。

下面我们来看李先生的证明。他是想用数学归纳法证明b始终在(1)中，即虽然证明了【对任意k, ak≠b  (4）】成立。却想证明【对所有k, ak≠b    (5）】不成立。即想证明b始终在(1)中。【 命题1: b∈{a1a2……}，  （6）】  他证明的错误主要是把(1)看作是由所有的k位有穷位小数形成的有限长方形，当k=1,2,3,...时构成的长方形无穷序列。他并没有证明b在(1)中，证明的是他构造的k位有限小数b(不是真正的无限小数b)，存在于k位有穷位小数形成的有限长方形中。这其实不用数学归纳法，对任何k都可证明。                

这根本同b在(1)中毫不相干。怎么由此就得出b在(1)中的结论了呢。

这里还表现出李先生脑海中的一个错误糊塗观念。李先生说【数学归纳法在证明的过程中，只需要也只能讨论有限的情况，比如我们在证明过程中讨论b时，只需要也只能讨论作为有限小数的b，但结果却可推广到作为无限小数的b。】这完全是错误的。数学归纳法其结论中的全称量词∀xP(x)的含义就是指，自然数集合N中的任何自然数x，全体自然数x，使P(x)为真。根本不可能由有限小数b在有限长方形中，推广到无限小数b就一定在(1)中。这完全是李先生的主观臆想，白日做梦，滑天下之大稽。

其实李先生想用命题1在肯定(4)的条件下否定(5)的，承认任何x下成立，在所有x下不成立。要知道这是不可能的，所说的命题1的结果连(4)也否定了。如果存在有b在(1)中，请问此b的标号是多少。怎么还可能对任何k都有ak≠b呢？李先生的逻辑就是如此混乱。

结论

【任何】和【所有】这两个词在通常的语义和语用上来讲，当然有相同的也有不同的地方。但是，在数理逻辑中，对全称量词，把∀x,p(x) 解释为：对任何x，或对所有x，谓词p(x)成立。这却是非常严谨的，没有任何矛盾和差异。

李先生想用【任意x】和【所有x】把全称量词分成两种，这种作法是错的，因为他想把两者分开，实际上是讲不清楚也分不开的。他所举的分开的例子都是错误的。

花瓶装球的例子，涉及无穷操作的禁忌。无穷操作的结果，取决于定义。对于不同的定义，可以有不同的结果，这同对全称量词的解释毫无关系。

关于对角线证法，李先生的理解有严重错误，他错误地把由反证法假定推出的无限小数构成的无限矩阵(1)，看成是有限小数构成的有限长方形的无穷序列。错误地想用证明b在(1)中，来证明虽然【对任意k  ，ak≠b  】成立。而【对所有k  ，ak≠b   】并不成立。他的证明全是错的。他证明的是他构造的k位有限小数b，存在于k位有穷位小数形成的有限长方形中。并没有证明真正的b在(1)中。

这里还表现出李先生脑海中的一个错误糊塗观念，认为数学归纳法，【只需要也只能讨论作为有限小数的b，但结果却可推广到作为无限小数的b。】这些都是完全错误的观念。

数理逻辑本身非常严谨，建立在数理逻辑基础之上的数学当然也是非常严谨的。李先生说什么【数学需要重新启动？】完全是他无知和错误的幻想。

高度的严谨是包括数学在内的任何科学的基本特点。 李鸿仪先生的错误都是逻辑思维不严谨造成的。希望他能认真纠正他的那种随意、不严谨的作风，学会养成坚持严谨学风的习惯。