Zmn-1070 薛问天 : 错误太明显了。这么明显的问题还要讨论吗？评师教民先生的《1069》

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错误太明显了。这么明显的问题还要讨论吗？

评师教民先生的《1069》

薛问天 

xuewentian2006@sina.

名著中明明说的是，把方程表示的函数称为隐函数，怎么说【这个方程式就是隐函数】．同样，菲书说的也是把方程给定的函数y=f (x) 称为隐函数，并没有把给出它的方程称为隐函数．

1)，书中明明说的是【...... 用这种方式表达的函数叫做显函数．…方程x+y^3-1=0表示一个函数，…．这样的函数称为隐函数．】

师先生却说【 我的意见是：〖方程x=1-y^3表示一个函数，…．这样的函数称为显函数．所以方程x=1-y^3就是显函数．同理方程x+y^3-1=0就是隐函数〗】师先生这里所说的结论明显错了。概念要明确，方程式是方程式，函数是函数。明明书上说的是【 用这种方式表达的函数叫做显函数】，而师先生却硬说【 方程x=1-y^3就是显函数】。 明明书上说的是【 方程x+y^3-1=0表示一个函数，…．这样的函数称为隐函数．】，而师先生却硬说【 方程x+y^3=1就是隐函数．】。这样的说法当然是错误的。

另外，师先生说【 方程y=f (x) 才是以y为因变量的显函数的一般式；方程 x=g (y) 才是以x为因变量的显函数的一般式。】也是不对的。 x=g (y) 和 y=f(x)是函数的一般表示，不要随意说它是方程。而且只是有表示为明显的解析表达式时，才是显函数，一般的函数并不一定是显函数。

师先生问【请问薛问天先生，如果方程x=1-y^3或x=g (y) 或 y=f(x) 都不是显函数，那么什么东西才是这些显函数？】

回答也非常简单， x=1-y^3是用y的明显解析表达式表示x，用这种方式表达的函数当然是显函数。当把x=1-y^3看作是方程时，作为方程本身当然不是显函数，只有当把 x=1-y^3看作是方程给定的(或说它表示的)函数x=g(y)，而且是明显解析表达时，它才是显函数。而且作为方程 x=1-y^3，它给出的还有另外的隐函数y=f(x)，如有解y=³√(1-x)，还说此解是方程给定的函数y=f(x)是显函数。也就是说单说函数x=g (y) 或 y=f(x) 都不是显函数，只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y) 或 y=f(x) 才说它是显函数。

2)， 世名著菲书中明明写的是：“一个函数y=f (x)如果由未对y解出的方程(1)[方程(1)为F(x，y)=0]所给出，则称为隐函数；如果考虑的是y对x的直接关系，则它成为显函数．”而且书中的直接关系指的是明显解析表达式，而不是说写出y=f (x)，x=g (y)，就是给出直接美系。而师先生却硬要说【方程F(x，y)=0是隐函数，方程y=f (x) 是显函数．y=f (x)  未由方程(1)F(x，y)=0给出时，函数y=f (x)就不是隐函数！】

还在问【 如果由方程(1) F(x，y)=0所给出的表示函数的方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0，即方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1不是隐函数，那么什么东西才是这个隐函数？】

这种说法和问题从概念上就是错误的，方程式就是方程式。怎么能说方程式是隱函数或不是隐函数。

什么是隐函数？隐函数是，由方程F(x,y)=0给出的函数y=f(x)和x=g(y)称为隐函数。即把 函数y=f(x)和x=g(y)代入方程，使方程F(x,f(x))=0,F(g(y),y)=0成为恒等式。

什么是方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0给出的隐函数？我在《1068》已具体分析，给出的隐函数如下。限制y≤0或y≥0，即可给定两个以x为自变量，y为因变量的隐函数y=f1(x),y=f2(x)。当限制x≤0或x≥0，即可给定两个以y为自变量，以x为因变量的隐函数x=g1(y),x=g2(y)。而且知这些函数关系都是咉射，而不是双射(一一对应)。只有在同时限制( y≤0或y≥0)和( x≤0或x≥0)时，才在四个象限给出四个以x为自变量以y为因变量的隐函数y=f11(x), y=f12(x), y=f21(x), y=f22(x)，和四个以y为自变量以x为因变量的隐函数 x=g11(y), x=g12(y), x=g21(y), x=g22(y)。这八个隐函数才都是双射(一一对应)。而且这12个函数都可表示为显函数。

最后，师先生说【 通过上述1，2的分析可知，方程 x+y^3-1=0, (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1以及方程F(x，y)=0都是函数，而且都是隐函数．方程 x=1-y^3以及方程 x=g (y) 或 y=f (x) 都是函数，而且都是显函数．再说，上述的这6个方程都符合函数的定义，所以都是函数．所以，薛问天先生说：【方程不是函数】就错误了！】

这段话的错误前面已经指出，主要是从概念上混同了【方程】和【函数】的区别。在数学上每个概念都有它严格的定义，表明了它确切的含义。当然在数学上【方程】和【函数】是两个不同的概念，不可随意混同。当然这两个概念有密切的关系，【方程】(F(x,y)=0)可以给定(或表示)【函数】 (y=f(x), x=g(y))，把【函数】 (y=f(x),x=g(y))称为【方程】(F(x,y)=0)给定的隐函数。但绝对不能认为方程就是函数，甚至说某方程是隐函数显函数，或不是隐函数不是显函数等。这都是不严格的是错误的。在名著中也从来沒有这种说法或犯这样的错误。在师先生举的这些引用中没有这样的提法。

不过我也注意到了，有这样的情况，函数的表达式如x=1-y^3，是等式，你可以把它看作是一个方程。但关键是你必须做出清楚的选择。你把它作为是【函数表达式】还是【方程】，它的含义是不同的。你要把它作为【函数表过式】，那它表达的就是一个单独的函数。如 x=1-y^3就是以y为自变量以x为因变量的函数，而且如果这个表达式是明显的解析表达式，那这个表达式就是一个显函数。如果是你把 x=1-y^3它作为【方程】，那这个方程本身不但不是函数，它所表达的也不仅仅只表达一个隐函数。它给定的隐函数还有以x为自变量以y为因变量的隐函数y=f(x)。所以你把 x=1-y^3作为方程，又说它是一个显函数，显然是错误的。

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