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认识一个最简单的费曼图 精选

已有 5683 次阅读 2022-6-4 09:01 |系统分类:教学心得

学习多体物理,我们需要认识一些基本的费曼图,并理解它的本质。如果将太多的注意力花在如何计算费曼图上,而不去思考和总结这些图的本质和特点,则可能很难真正理解它们。我们应该在工作中反复思考它们,从而对这些图有深刻的、直观的认识。此外,对这些图的发散行为的理解,可以有助我们更好地理解重整化过程。为此,本文讨论一个最简单的费曼图(见下图),并讨论它在几个不同的场合的应用。

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  1.  二维$\delta$-势$V({\bf x}) = \lambda \delta({\bf x})$中的应用此时,我们有\begin{equation} {1\over \lambda}  = \sum_{\bf k} {1 \over E - k^2} = -\sum_{\bf k} {1 \over |E| + k^2} . \end{equation}

    我们经常定义格林函数$G({\bf k}) = {1\over m^2 + k^2}$,  $m^2= |E|$.  那么这个结果为

    \begin{equation} {1\over \lambda}  = -\sum_{\bf k} G({\bf k}) . \end{equation}

    这个积分可能发散,所以需要用到重整化。我们要强调

    对于二维模型,这个发散可以通过一个结合能实现,所以定义

    \begin{equation} {1\over \lambda_R}  = -\sum_{\bf k}  {1\over e_b + k^2}. \end{equation}

    从而得到

    \begin{equation} {1\over \lambda_R} - {1\over \lambda}  = -\sum_{\bf k}  {1\over e_b + k^2} - {1 \over |E| + k^2} = {1\over 4\pi} \ln {|E| \over e_b}. \end{equation}

    这样的表达式或者这样的图在计算费曼图时会反复出现,图越简单,出现的频次越高。理解这些图的特点,是理解很多多体物理的核心。

  2. Edwards-Winlkson模型中的涨落效应。考虑动量空间的布朗运动,它的方程满足

    \begin{equation} \partial_t h({\bf x}, t) = -r h + \nu \nabla^2 h + \eta. \end{equation}

    那么在动量空间,可以得到布朗运动

    \begin{equation} \partial_t h({\bf k}, t) = -(\nu k^2 + r) h({\bf k}, t) + \eta({\bf k}, t). \end{equation}

    这个解是显而易见的,我们得到

    \begin{equation} h({\bf k}, t) = e^{-(r + \nu k^2) t} h({\bf k}, 0) + \int_0^t e^{-(r + \nu k^2) (t-t')} \eta({\bf k}, t') dt'. \end{equation}

    我们可以计算得到,当$t\rightarrow \infty$时,

    \begin{equation} G({\bf k}) = \langle h({\bf k}, t)h(-{\bf k}, t)\rangle = {1\over r + \nu k^2}. \end{equation}

    如果我们计算

    \begin{equation} \langle h^2\rangle =  \sum_{\bf k} \langle h({\bf k}, t)h(-{\bf k}, t)\rangle= \sum_{\bf k} G({\bf k}). \end{equation}

  3. 散射过程中对质量的修正。我们如果考虑$\phi^4$理论,那么对质量的自能修正的第一项就是这个图。我们有

    \begin{equation} \Sigma = g \sum_{\bf k} G({\bf k}). \end{equation}

  4. BEC中热原子对凝聚体的贡献。我们可能需要计算

    \begin{equation} \sum_{\bf k} g a_0 a_0 \langle a_{-{\bf k}} a_{\bf k} \rangle \sim g_0 a_0^2 \sum_{{\bf k}}  {1\over E_{\bf k}} \sim \sum_{{\bf k}} {1\over k^2 + \mu}. \end{equation}

    这个结果也和这个圈图有关。这个结果本质上和第3点是一样的。

总结:在学习格林函数、多体物理、量子场论的时候,我们会看到很多简单的费曼图,也会看到一些复杂的费曼图。理解这些简单的费曼图,以及它们在不同的模型中的作用,可能对我们理解这些物理过程有重要的价值。2022年春季重点讲述了Edwards-Winlkson模型(Kardar场论第九章,KPZ方程等),也发现了这个图的妙用,只是它的平均,是对无序的平均,而不是配分函数的平均---这两者本质上没有区别。是为记。



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