Zmn-0962 薛问天: 【元素数目】的定义宣告失敗，【相容集合论】的逻辑一团糟。评李鸿仪先生的《0961》。  

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0961》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

【元素数目】的定义宣告失敗，【相容集合论】的逻辑一团糟。评李鸿仪先生的′《0961》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李鸿仪先生在集合论中定义【元素数目】宣告失敗，新建【相容集合论】逻辑一团糟。我按李先生《0961》文章的顺序来作评论。

一，李先生说【原有的极限定义没有直接讨论ε=0的情形，所以无法直接回答究竟能不能达到极限？】

说明李先生根本就沒有弄懂极限的定义。要知道在极限的定义中根本不需要讨论ε=0，就能回答。当序列an的极限是A时，有的序列能达到极限，序列中有n使an=A，而有的序列不能，不存在n使an=A。这两者都有可能。能不能达到极限，这同讨论ε=0沒有关系。大家都知道在序列极限的定义中是令ε>0，而当n>N时要求的是满足下面这个不等式丨an-A丨<ε，所以在ε>0的情况下，an=A和an≠A，都有可能满足此不等式，即满足极限的定义。所以在极限是A的序列中，有的序列中有an=A，而有的序列中沒有。这两者都有可能。例如

Ⅰ:  2,9，2.99，2.999....。

Ⅱ: 2.9，3，2.999，3，...。

Ⅲ: 2.9，2.99，...,2.9...9(N个)，3,3,3...。

显然它们的极限都是3。序列I 的通项是an=2.9...9(n个)，此序列所有的an全部≠3。

序列II 的通项是当n是奇数时an=2.9...9(n个)，当n是偶数时an是3，此序列有无穷个n使an=3。

序列III 的通项是当n≤N时an=2.9...9(n个)，当n＞N、时an是3，此序列当n＞N后，全部无穷个n都是an=3。

在极限是A的序列中，有的序列中有an=A，而有的序列中沒有，全部an≠A。这两者都有可能。这在原极限的定义中就已经讲述清楚了，根本不需要重新定义。

请注意我批评的是李先生的这句话【其中，虽然ε可以任意小，但由于数列极限定义只讨论了ε>0的情况，所以通常认为极限是只能接近而不能达到的。】

要知道通常人们认为【极限是只能接近而不能达到的】，並不是指an≠A，而是指n不能达到∞。或者说在函数极限f(x)→A(x→a)中，並不是指函数值f(x)≠A，而是指自变量x不能达到a，x≠a，是在x≠a的邻域中讨论问题。因而这句话并不错。而李先生认为极限可以达到指的是n可以达到∞，则恰恰是错误的。

二，李先生大言不惭地说【一般的文献中并没有无穷大∞的明确定义，所以这时讨论无穷大确实意义不大，但是我的文章对∞是有明确定义的，这也是我的贡献之一，在有明确定义的情况下，而且是将其定义为一个可以比较大小的数，当然可以讨论无穷项等问题。】

好吧！那我们就看李先生对∞给出的数学定义。

李先生说【对任何数列，不管其通项如何，只要其计算时间可以忽略不计，都可令时间t=1-1/2^n，从而当t=1时，数列项数就达到了∞。】 

在时间过程中，我们完全可以理解为时间t=1是时间经过了时间序列tn=1-1/2^n的所有点以后到达的时间点。序列tn没有最后项。而李先生把t=1定义为时间序列tn=1-1/2^n的最后一点，属于序列，认为是序列的一个项，令t∞=1，就等于给自然数定义了最大自然数，这会産生矛盾。李先生说【这里并没有薛先生认为的“最后一项”，也没有“认为自然数有最大数”，】这已经由不得李先生的主观愿望了，不是你说没有就真的没有。这是你避免不了的。把a∞看成是序列的最后的项，这就是承认自然数有最大自然数。

倒如李先生最后把序列写成

【任何收敛的无限数列都可以表示成

a1，a2，a3…… a∞，a∞，a∞,……】

一方面把a∞写那么多就不合适(时间过程中有那么多t=1吗？)，另一方面其中的第一个a∞就表示，∞是最后一个最大的自然数。

这本身就有很多矛盾。请问李先生第一个出现的A∞，它的前面的那个项n等于多少？你把∞定义清楚了吗？你给出的【∞的明确定义】是什么？

李先生，你真的不认为你说的这些话【定义3还给出了∞的明确定义。并且是一个可以比较大小的数或变量，既然有了∞的定义，当数列能达到∞项时，当然可以讨论达到无限时的数列项，】是吹牛吹的过份了吗？

三，不能不说经过讨论，李先生还是有一定的进步的。在这次讨论中李先生第一次提到我所关注的【相邻数】和【指定类型数】这两个概念。李先生说【旧理论只知道稠密性数系一律是没有相邻数的，却不知对指定类型的数是有相邻数的。】说明两点，第一，李先生认识到而且承认在数学理论中，实数是沒有相邻数的，自然，有理数也沒有相邻数。第二，因而他所讨论的【两个有理数】并不是相邻的两个有理数，而是【指定类型的数】的相邻数。

能认识到这点非常重要。这正是纠正李先生错误的关键点，必须在李先生的推理中严格贯彻这两点认识。

首先要认识到李先生所说的【两个有理数之间的最小间距为:

d≈0.1^y   (5)，其中y=max(m1，m2)，】

并不是两个相邻的【两个有理数之间的最小间距】，而是两个非循环位数等于m1和m2的【指定类型的有理数】之间的某种间距。

接着李先生说【这个公式证明了有理数之间是的间距是不可能达到零的，即d的极限不为0，因此不是无限小，】

这是错误的。首先既使证明了d不等于0，或d的极限不为0，也证明不了【有理数之间是的间距是不可能达到零的】，因为d并不是相邻的【两个有理数之间的最小间距】，而是两个非循环位数等于m1和m2的【指定类型的有理数】之间的某种间距。

其次，m1和m2可无限增大，当max(m1.m2)→∞时d→0，即d的极限为0，说【d的极限不为0，因此不是无限小，】是错误的。

李先生认为【一旦d以0为极限，就意味着有无限多位不循环小数，】其实并非如此，因为m1.m2可以趋近于无穷大，但并不是等于无穷大，即m1和m2仍然是有穷数，因而不会变成是非循环位数有无限多位的不循环小数。

李先生说【这也很好地解释了为什么会有有无理数的存在，是对第一次数学危机的真正解释。】

这显然也是错的，因为这說的并不是相邻的两个有理数之间的最小间距不等于0，因而由此推不出【会有有无理数的存在】，解释不了【第一次数学危机】。李先生的错误推论，盲目夸大了他的【贡献】。

李先生认为无理数之所以存在，是由于在两个相邻的有理数之间的有间距不等于0的【空隙】。他说【如果d是以0为极限的无穷小，即有理数之间可以没有空隙，哪里还有无理数的存在空间？】

要知道李先生的认识是完全错误的。根本不存在之间有空隙的两个相邻有理数。有理数有稠密性，任何两个有理数之间都有无穷个有理数存在。对任何无理数，并无比它大的最小有理数，也无比它小的最大有理数。无理数并不是存在于两个相邻的有理数的空隙之间。也就是说无理数是介于两个相邻的无理数集合之间的。这两个集合一个没有最小数，一个没有最大数。这才是真正的实际情况。

李先生所说的d，他认为是【两个有理数之间的最小间距】，实际上并不是。那究竟是什么呢？我具体分析了一下，严格讲是这样的。设有一任意给定的有理数a，它是循环的无穷小数。它的非循环位数等于m1。现在考虑非循环小数位数等于m2(设m2>m1)并有确定循环节的有理数数类。可以证明d=(0.1)^m2，是此指定类型中同a相邻的有理数同a的间距的上界。

这里的两数【相邻】，指的是两数间不存在指定类型中的任何数。

因为在此类型中任何一个同a相邻的有理数肯定前m2位小数都相等，所以指定类型中同a相邻的有理数同a的间距一定小于d。

至于指定类型中同a相邻的有理数同a的间距的下界，这同a的内容和类型的确定的循环节的具体内容有关。单独由d的公式是决定不了的。

也就是说，这个d，是【指定类型中同a相邻的有理数同a的间距的上界】，并不是什么【两个有理数之间的最小间距】。

四，我看了李先生对我所提的一些具体问题的回答。从这些回答可以看出他已经正式承认，在集合论的基础上，他是回答不了这些问题的。他的这些观点是同集合论严重矛盾的。

他明确地说【用外延固定的集合概念来讨论这个问题是无解的】。

这实际上说明他己承认，想在集合论里用他的几项原则来定义无限集合的【元素数目】的试图，已宣告完全失败。

他提出了三项原则来为集合论中的无限集合定义【元素数目】。其中的第三项他说到有使【元素数目】不变的【数学操作】。后面举例说道【自然数集合A的每个元素乘以2得到的偶数集合A1，其元素数目与A是一样的，......同理，乘以2再减1后得到的奇数集合A2，其元素数目也是与A相同的。】也就是说他认为全体自然数集分别同偶数集和奇数集的元素数目都是相等的，

大家都知道在集合论中，偶数集和奇数集都是全体自然数集合的真子集。这明显的说明，他已承认存在集合同它的真子集的【元素数目】相等。但是李先生的第二项原则却说【2）无限集合的元素比其真子集多】。

请问李鸿仪先生，对如此明显的矛盾，你怎么还能说【这些显然正确的东西放在一起是不可能产生任何矛盾的】。

当然最后终于承认了这在集合论里是绝对矛盾的。他的观点同集合论严重矛盾。他说【从这里可以看到，无论是自然数集合还是偶数集合，奇 数集合，都不是唯一的。】 显然这在集合论中说不通，在集合论中，全体自然数集合偶数集合，奇数集合都是唯一确定的。

也就是说他已正式承认，在集合论中，用他规定的三项原则来定义集合论中的无限集合的【元素数目】，已宣告失败。

实际上他并不是在为集合论定义【元素数目】这个概念，而是在反对现代集合论的基本原理，他已公开说【为什么不可以反对和否定传统的集合论？】明确说明他反对集合论的无穷公理和外延公理，提出了否定集合论現有公理的，新的【李氏集合论】，即所谓【相容集合论】。辩解说这【元素数目】是他为他的【相容集合论】定义的【这一无比简单且清楚的概念】。

而且自吹自擂地说【相容集合论在比较集合大小方面，不但比传统集合论精确，而且还要严格得多：说一句不客气的笑话:不敢说严格1万倍，1亿倍，但是严格100倍肯定是不止的。】

好吧！我们就来探讨一下他的这个【相容集合论】，及同【元素数目】的关系。经过初步的探讨，我得出结论是，逻辑上一团糟。

本来，我已分析指出，〖他所定义的【可变集合】就是有限集合的序列〗，〖是个函数，它的因变量的论域(值域)是由所有的【自然数有限集合】构成的集合。由于它的自变量的论域(定义域)是由所有的【自然数】构成的集合。 这个集合函数就是集合的序列。(0948)〗

也就是说，李先生定义的【可变集合】，在集合论中就是清楚定义的集合函数，集合序列。但李先生不这么认为，硬把【可变集合】看作是否定外延公理的【相容集合论】中的【外延可变的集合】，把一个集合序列看作是一个集合。在集合论中外延公理规定任何集合的外延是确定的不可变的。但他的【相容集合论】的可变集合是外延可变的。

要知道李先生，你要建立一个理论系统必须把基本概念说清。非欧几何系统的建立就说的很清楚，它的前四个公理同欧氏几何是一样的，只有第五公理不同。你的【相容集合论】反对和否定集合论的无穷公理和外延公理，你肯定的是什么，原有集合论中哪些概念是你肯定的，这些你都没有说清。请问:

①.集合沒有确定的外延，那么集合还有沒有确定的元素？如果集合没有确定的元素，还有确定的属于关系吗？如果沒有确定属于关系，难道允许说一个对象属于此集合又不属于此集合。

②.如果集合没有确定的元素，你怎么判定两个集合是相等的，是同一个集合。

③.如果集合没有确定的元素，这个集合还能有确定的元素数目吗？如果集合没有确定的元素数目，你还能比较集合元素数目的相等或多少吗？

这一切都没说清楚，在这种情况下还说什么【1）相同集合的元素数目相同。

2）无限集合的元素比其真子集多。

3）在任何一个数学操作中，任何一个元素都不可能莫名其妙地增加或消失（不妨称之元素不生不灭定律）等。】

所以说所有这一切，在逻辑上简直是一团糟，矛盾重重，错误百出。

集合沒有确定的元素，没有确定的元素属于关系，还谈什么同一集合，不同集合和真子集合，还谈什么集合的元素数目和数目的相等和多少？

尊敬的李鸿仪先生，关于你建立的【相容集合论】以及你提出的【元素数目】，你能明确回答我提出的这些最最简单的问题①②③吗？

当然如果回答不出来，也可以不予回答，说是【胡搅蛮缠，没有意义，我也未必有时间奉陪。】大家都清楚，这些都是尽人皆知的回答不出的【理由】。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】