Zmn-0963  :范秀山: 等式1=0.999…为什么错误？

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等式1=0.999…为什么错误？

范秀山

当前，数学界普遍认为1=0.999…是一个正确的等式，给出的证明是这样的。

设

x=0.999…                  （1）

两边同时乘以10，

10x=9.999…                 （2）

（2）-（1），得

9x=9                     （3）

（3）化简，得到

x=1                     （4）

比较（1）、（4），左边相等，右边必相等，于是有

0.999…=1                  （5）

根据常识我们知道，一个数扩大10倍后再缩小10倍，加上一个常数再减去这个常数，其值不变。如果数值发生了改变，那么一定是证明或运算的过程中有错误。

在前面的证明中，5个步骤的第2步就是错误的，正是它的引入造成了结果的错误。为了证明这一点，我们不妨看下面的例子——同样的证明，在第2步是正确的，看看会得到什么样的结论。

设

x=1                       （6）

两边同时乘以9，

9x=9                      （7）

（7）-（6），得

8x=8                      （8）

（8）化简，得到

x=1                      （9）

比较（6）、（9），左边相等，右边必相等，于是有

1=1                     （10）

（10）显然是正确的。也就是说，如果每一步都是正确的，我们得不到任何新的信息，一个数只能等于它自己。

在第一个证明中，正是由于（2）的错误，才导致了（5）的错误——一个数（0.999…）不再等于它自己，而等于另外一个数（1）。

错误的根源找到了，数学界也应该放弃错误的等式0.999…=1了。

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