Zmn-1072 薛问天 : 正确认识无穷集合的存在性，评一阳生先生的《1071》

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正确认识无穷集合的存在性，

评一阳生先生的《1071》

薛问天 

xuewentian2006@sina.

阅读一阳生先生的论述，感到一阳生先生并没有完全理解集合论公理所论述的【集合的存在性】的真正含义。我认为 集合论公理所论述的【集合的存在性】的真正含义，是在于确认集合的存在，不仅仅是在确认集合的元素对象的存在。元素对象本身的存在是容易证明的，关键是确认这些己经存在的对象，把它们聚集起来是否能构成一个集合，是在确认这个聚集是否构成的是【集合】，问这个集合是不是存在。

关于讨论全体自然数集合的存在性，并不仅是是讨论自然数本身的存存，因为0的存在，以及如果n是存在的自然数，它的后继肯定是存在的自然数，这都可以很容易得到严格证明。在假定0是空集，很容易由空集公理证明0的存在。在假定后继n`=nU{n}下，也很容易证明后继的唯一存在。说【 无法证明】是不对的。

因而由数学归纳法可以明显地推出全体自然数都是存在的自然数。但是这并没有推出由全体存在的自然数就能构成集合，并没有推出全体自然数构成的集合的存在。这是因为我们知道由存在的一些对象，把它们聚集起来并不一定能构成集合。可能构成的是真类而不是集合。论证全体自然数集合的存在性就是要证明它构成的是集合。这才是论证集合存在性的真正含义。由无穷公理证明了归纳集的存在，即断定存在着归纳集是集合。然后由于全体自然数集是最小的归纳集，再根据分离公理，根据全体自然数集是存在着的归纳集的子集，证明全体自然数集合是存在的集合。这才能最后证明集合的存在性。

既然所有自然数都存在，而且由所有自然数构成的集合是存在的，它的外延是确定的，则所有自然数的个数，以及整个集合的势(基数)就是确定的和可以讨论的。显然它不能单纯用自然数来表示，只能用自然数的扩充-有穷和超穷基数一起来表示。

当我们用自然数计数运算次数的过程时，对任何自然数n。它都是有限次，即n次的运算。如果一次运算的结果是有定义的存在的，则有限次即n次的运算结果当然也是有定义的，存在的。如实数的有限次的加法乘法，以及集合的有限次的并集，交集等都是明白请楚的。但对于无限次的运算，运算结果是什么并不清楚，只有在另外给出明确定义后才能做这种运算。如把无穷次加法即无穷级数用部分和的极限来定义等。

同样， 应用替换公理时， 公式φ(x,y)的成立即【与每个x对应的每个y都是存在的】必须是要先得到证明的。替换公理的关键是进而断定【所有这些存在的y组成的Y，是确定存在的集合。

由上述可知，从理论上、逻辑上分析，无穷个对象和无穷集合的存在，可由集合论的公理直接证明。空集的存在可由空集公理所证，对任何存在的自然数n，它的后继n`=nU{n}的存在。可由并集公理和无序对公理推出。既然证明了 如果自然数n存在，则n的后继数n’存在，那么由数学归纳法可证所有的自然数本身的存在。不能再说什么【如果从动态的角度看待运算过程，用自然数计数运算过程而不终止。对于经历过的每一次运算，总存在下一次运算等待经历而没有被经历。】 由数学归纳法可证所有的自然数全部都存在。不存在【没有被经历】的任何自然数。

但全体自然数集合的存在需要无穷公理和分离公理来加以证明。 并不是一阳生先生所说的什么【来源于数学中静态的存在性的思想和数学归纳法。】和【 数学中除具有静止的存在性思想之外，还应存在动态的构造性思想】

当然，在证明了全体自然数集合存在后，还可以通过替换公理，利用X是存在的所有自然数的无穷集， 可以断定通过φ(x,y)与每个x对应的所有这些存在的y组成的Y，是存在的无穷集合。可以用此方法和并集公理来证明比ω更大的序数作为无穷集合的存在。还可以再用幂集公理证明基数更大的无穷集合的存在。

总之，所有无穷集合的存在性，都可由集合论的公理得到严格的论证。

当然公理集合论的产生，之所以要以这些公理作为集合论的公理，以及这些公理能得到业界的共识，这同业界承认现代实无穷观有很大的关系。集合论的公理系统是以现代实无穷观为基础的。也就是说认可集合论必须废棄潛无穷观。潜无穷观认为无穷集合的生成过程是【 连续不终止的】是【不可能完成】的。实际上是不承认确定的无穷集合的存在。这种观点同集合论是格格不入。无法相容的。所以必须废棄，要真正树立起现代的实无穷观。

我所举的小球运动的例子，不是纯逻辑的公理论证。而是用直观的语言，运用物理上的匀速运动来说明经过无穷个点的无穷过程是可以在有限时间内完成的。物理上的运动当然必须涉及时空，所谓运动就是考虑在多长时间走多长路程，必须考虑时空。要知道很多人认为无穷不能完成，就是认为无穷必须经过无穷长的时间。这个例子说明在有限时间内，可以完成经过无穷个点的无穷过程。

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