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Zmn-0215 薛问天：混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的《0214》
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Zmn-0215 薛问天：混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的《0214》
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0214》师教民先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
混淆了函数h同函数f的微分
-评师教民先生的《0214》
薛问天
师教民先生在这个证明中所犯的错误，是混淆了正函数 y=f (x) (编号为 1)的微分dy①，同正反函数的复合函数 y=f(g(y))=h(y)(由于f,g互为反函数，所以h是恒等函数)(编号为3)的微分dy③，这是两个不同的微分。师先生实际上所证明的是dy③/dy②=1，即证明了dy③=dy②，师教民先生误以为他证明了dy①=dy②。得出了错误的结论。
要知道，对于复合函数来说 ，假设有y=f(x)，x=g(z)，复合函数y=h(z)=f(g(z))。
令函数y=f(x)在x点的微分dy①=Adx①,,,,,,①，
函数x=g(z)在z点的微分dx②=Bdz②,,,,,,②，
而y=h(z)=f(g(z))在z点的微分dy③=Cdz②,,,,,③。(注。dz②=dz③=Δz。)
显然①式中的dx①同②式中的dx②是不同的微分变量。这点己谈论多次，己为大家所熟知。
同时，还应看到①式中的dy①同③式中的dy③也是不同的微分变量。前者是函数y=f(x)在x点的微分，后者是复合函数y=h(z) =f(g(z))在z点的微分。尽管它们都是函数的因变量的微分，但是由于函数不同，一个是f，另一个是h，所以这两者并不是相同的微分变量。有些人往往忽视了这点不同，误以为是同一个微分。而引起了不应有的错误。
正反函数是复合函数的特例。正反函数y=f(x)，x=g(y)互为反函数，复合函数y=f(g(y))=h(y)是恒等函数。
正函数y=f(x)在x点的微分dy①=Adx①,,,,,,①，
反函数x=g(y)在y点的微分dx②=Bdy②,,,,,,②，
而复合函数y=h(y)=f(g(y))在y点的微分dy③=Cdy②,,,,,③。
显然这里的dy③同dy①是不同的微分变量。而因为复合函数y=h(y)是恒等函数导数C=1。所以有dy③=dy②。
师教民先生的错误是混淆了dy③同dy①，误以为他证明了dy①=dy②。
其实我早在两年前的一篇文章中就谈到了复合函数中dy①同dy③的不同。我把它摘抄如下，供大家参考。《zmn-012 薛问天：解开「微分迷团」，兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。》6)微分定义的三大要素。
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...从微分的定义可知，微分dy，dx这个概念，不仅同变量y、x等有关，而且还同函数有关，同变量在函数中的作用和地位有关。必须从概念上弄清它包含的三大要素。
第一个要素。首先要分辨该微分是【函数(因变量)的微分】还是函数【自变量的微分】。
如果是【函数(因变量)的微分】，那么还要考虑下面两个要素。
第二个要素。是哪个函数(是f，g还是h等其它函数)的微分。
第三个要素。是在哪个点的微分。
要知道这三大要素只要有一个要素不同，所定义的微分变量就是不同的变量。对于自变量的微分可以不考虑第二和第三要素，因为任何函数在任何点的自变量微分都等于自变量的增量，都一样。但是对于函数的微分dy来说，不同的函数定义不同的微分变量，既使函数相同在不同的点定义的微分变量也是不同的。
例如，假设有y=f(x)，x=g(t)，复合函数y=h(t)=f(g(t))
令函数y=f(x)在x0点的微分dy=Adx,,,,,,①，
函数x=g(t)在t0点的微分dx=Bdt,,,,,,②，
而y=h(t)在t0点的微分dy=Cdt,,,,,③。
显然①式中的dx同②式中的dx是不同的微分变量(第一要素不同)。即①中的dx 是函数y=f(x)的【自变量的微分】，②中的dx是【函数x=g(t)在t0点的微分】，这两个dx是不相等的。
这里需要特别注意的是，对于增量系统而言，当x作为自变量时的Δx同当x作为函数x=g(t)时的增量Δx是相等的，一致的。但是对于微分系统而言，dx是自变量微分同dx是函数x=g(t)的微分是两个不同的微分变量，前者等于Δx，而后者只是它的一部分（线性主部），并不等于Δx，是不一致的。
同时，还应看到①式中的dy同③式中的dy也是不同的微分变量(第二要素不同)。前者是函数y=f(x)在x0点的微分，后者是函数y=h(t)在t0点的微分。可以具体证明它们是数值上并不相等的微分变量。有些人往往忽视了这点不同，而隐含了不应有的混乱。
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(全文完)
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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