Zmn-0966 沈卫国:    对北大微积分教材中关于微分定义及薛问天关于此的评论的评论（Zmn-0959 ）

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   对北大微积分教材中关于微分定义及薛问天关于此的评论的评论（Zmn-0959 ）

                          沈卫国

     北大微积分教材（高等数学(第二版)上册。李忠，周建莹 编著  zpup@pup.cn  北京大学出版社）中对微分的定义，加了一个限制条件△x → 0。这实际上根本就是错的。而不仅仅是什么“不妥”的问题。而且不止北大教材，很多教材都有此问题。比如清华的一本教材。这只能说明在一些根本问题上，编者并没有搞清，审定教材的，也没有搞清或疏忽了。关于此，已故武汉大学前校长齐民友先生讲的很清楚。

       但薛问天虽然指出了这一点，可他的理由不成立。不能写△x → 0的真正原因，是△x → 0其极限值就是0，不是任何别的数。作为一个函数的函数值可以不为0而趋于0，但极限值就是0。而△x → 0的含义就是通过极限过程得到极限值，也就是0，而不是指极限过程本身。这是很多人搞不清楚的。他们不能区分函数值与极限值的确切含义，经常弄混。而如果△x → 0等于0，此时f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)等式两边当然都是0，微分没有了任何意义。故此，不能令△x → 0。微分式没有任何分母上的△x，没有消去分母捎带把AΔx+o(Δx)中的△x消去的机会，当然也就不存在贝克莱悖论，但△x → 0这个极限法求微分的多余的条件反倒明显不行了。它会得到0 = 0，毫无意义。故此，才有不能有△x → 0。而薛先生却说什么当△x → 0时不能写φ(Δx)=a (Δx→0)，只能写φ(Δx)→a (Δx→0)，并居然以此为由认为不能有Δx→0，这是哪儿和哪儿啊？第一，由于Δx→0就是0，因此我们定义在Δx→0时φ(Δx)=a是完全可以的，这就是一个定义问题，凭什么不行？这与φ(Δx)→a 并无区别。所以薛先生的这个指责不成立。更进一步，谢先生更搞笑了，说是由于不能φ(Δx)=a 才导致不能有Δx→0，这个理由成立吗？不是还有Δx→0时φ(Δx)→a 呢么？在可以φ(Δx)→a 的前提下，凭什么说不允许Δx→0？薛先生这里逻辑混乱不堪，他自己也没有厘清。更可笑的是，薛先生居然说：“所以一般情况下，不能把(Δx→0)用在等式后面，例如写这样的式子φ(Δx)=ψ(Δx) (Δx→0)，这就说不清，当变量Δx趋近于0时，函数φ(Δx)的值等于ψ(Δx)是什么意思，因为写出φ(Δx)=ψ(Δx)就表示在Δx的某个区域中等式成立，再在括号中写Δx→0，说等式当变量Δx趋近于0时成立，又是什么意思呢？显然不是仅指两端的极限相等。如果是指等式在0的某个ε邻域中成立，则应写明为(Δx∈(-ε.0)∪(0,ε) )，要知道【Δx属于0的ε邻域】同【Δx趋近于0】在含义上还是有一定区别的。”而我们通常的导数极限式，不就是）f(x0+Δx)-f(x0)）/Δx=（AΔx+o(Δx)）/Δx？在任何一本教科书上，不都是这么写的。哪个不是φ(Δx)=ψ(Δx)的形式？然后写一个极限符号“lin（Δx→0）”。这不与把Δx→0）写在公式后面一样吗？按薛先生的逻辑，就连导数的极限式也根本不能有Δx→0了，这对于一个竭尽全力的极限法卫道士的薛先生而言，不是自打其脸的笑话又是什么？

总之，薛先生说，微分定义中，不应该有Δx→0，这是对的。很多教材中（包括北大清华）如此写，根本就是错的（不是什么“不妥”，错的就是错的。因为此时的微分是0了）。微分的定义，就是一个宏观量，不要求什么无穷小，更不能（Δx→0）。它可以是无穷小量，那是另一个问题。但微分的定义就是一个宏观量。不需要是无穷小量，更不是0。因此，薛先生给出的关于微分式不能有Δx→0的理由是错的。

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