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文老师，下面是我关于无穷相关概念的思考认识。请求转发薛老师，并发表在啄木鸟专栏。期待薛老师和所有老师的批评。谢谢！

            一阳生  2024-2-27

关于无穷的认识

一阳生

现对数学归纳法进行分析。设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n’)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。

可见性质P 应是关于对象的普适性的、本质的特征，可应用于数学归纳法中的【(∀n)P(n)】，被假设为对某类型的全部对象适用。对象的普适性的、本质的最重要的特征，应是对象自身的【存在性】。存在性特征是普适于所有对象的最本质的特征。所以性质P取值存在性应是合理的。

若从对象的存在性看待皮亚诺公理中的自然数的生成。0是存在的，若n是存在的，则n的后继数n’也是存在的。根据数学归纳法，所有自然数都是存在的。自然数、集合等原始对象的存在性，由存在性公理保证存在。存在有逻辑上的先后，没有时间上的先后。

至于归纳证明中最关键的一步，【若n是存在的，则n的后继数n’也是存在的。】，这是公理直接假定成立的，无法证明，表达一种静态的存在性的思想。

既然所有自然数都存在，则所有自然数的个数就是确定的和可以讨论的，显然不能用自然数表示，只能用非自然数。

现在分析替换公理。若对于任意集合X，对于任意公式φ(x,y)，使得对于每个x∈X，存在至多一个y，使得φ(x,y)成立。则存在集合Y={y | ∃x(x∈X ∧ φ(x,y))}。

当我们应用替换公理时，就是假定公式φ(x,y)成立，即是【假定与每个x对应的每个y都是存在的】。进而假定存在y组成的集合Y。φ(x,y)本质就是一种关系，表达对于每个x都有y与之在存在性上的静态的对应。

当我们用自然数计数运算过程时，如果产生了运算次数的集合｛1次,2次,3次,…｝和运算表达式(以并运算为例)的集合｛AUB,AUBUC,AUBUCUD,…｝。就是以【假定了与每个自然数对应的每个次数、每个运算表达式都存在】为前提。

所以通过替换公理构造的，包括次数的集合、表达式的集合在内的无穷集合和无穷个对象的存在，都因假定公式φ(x,y)的成立而存在。φ(x,y)的成立是作为前提条件给出，无法证明。

由上述可知，从理论上、逻辑上分析，无穷个对象和无穷集合的存在，来源于数学中静态的存在性的思想和数学归纳法。

数学中除具有静止的存在性思想之外，还应存在动态的构造性思想。

如果从动态的角度看待运算过程，用自然数计数连续运算过程而不终止。对于经历过的每一次运算，总存在下一次运算等待经历而没有被经历。经历n次运算不代表经历n’次运算。这与自然数n存在，则n的后继数n’存在，是不同的。这时形成的运算次数将组成潜无穷项的序列。

由上述可知，潜无穷来源于连续不终止的动态变化，其与实无穷的关键区别在于上述假定上的不同。

潜无穷、实无穷的存在都无关乎时空变量。薛老师设计的小球运动是以时空变量为约束条件，可以作为在认可实无穷的前提下，对实无穷的实践应用，作不了实无穷存在和来源的证明。我们只能说无穷存在，不能说无穷完成、达到这些不良表达。

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